Matriz triangular superior con determinante 1

Question

Considerando el grupo de matrices triangulares invertibles $T(n,K)\subset GL(n,K)$. Entonces el set$ST(n,K):= \{M\in T(n,K), \det(M)=1\}$ forma un subgrupo normal de $T(n,K)$. Además, se sabe que el grupo de matrices triangulares superiores con todas las entradas diagonales siendo 1 es un subgrupo normal de$T(n,K)$, llámalo $U(n,K)$. Sin embargo, tome cualquier$P\in ST(n,K), A\in U(n,K), PAP^{-1}$ es una matriz triangular superior con sus entradas diagonales siendo el producto de las entradas diagonales de $P$ y $P^{-1}$ en la posición respectiva, que puede no ser 1. Por lo tanto, no es un subgrupo normal de $ST(n,K)$. Probé otros tipos comunes de matrices (algunas están modificadas para ser triangulares superiores), pero no pude encontrar un subgrupo normal para$ST(n,K)$. ¿Tiene un subgrupo normal? Si es asi, ¿como se ve?

Answer 1

por $n=3$ por simplicidad, ¿no es así?

$\begin{pmatrix} a \ * \ * \\ 0 \ b \ * \\ 0 \ 0 \ c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \ * \ * \\ 0 \ 1 \ * \\ 0\ 0 \ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \ * \ * \\ 0 \ b \ * \\ 0 \ 0 \ c \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} 1 \ * \ * \\ 0 \ 1 \ * \\ 0 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}$