Mayor valor singular de la matriz triangular

Question

Dejar $R\in\mathbb{R}^{d\times d}$ ser una matriz triangular superior.

Los valores propios de $R$ son entonces sus entradas diagonales, es decir, $(R_{ii}, e_i)$ es un par propio de $R$ ya que $Re_i=R_{ii}e_i$.

¿Es posible unir el valor singular más grande $\sigma_\max (R)=\sqrt{\lambda_\max (RR^T)}$ por las entradas diagonales de $R$?

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La desigualdad de Weyl nos dice$\lambda_\max \le \sigma_\max$que es la dirección equivocada. Pero tal vez podamos conseguir algo como$\sigma_\max < \lambda_\max^2$ asumiendo $\lambda_\max>1$? ¿O el valor singular más grande puede ser arbitrariamente mayor?

Answer 1

¿Es posible unir el valor singular más grande $\sigma_\max (R)=\sqrt{\lambda_\max (RR^T)}$ por las entradas diagonales de $R$?
Si observa la naturaleza ilimitada de la norma Frobenius, la respuesta, por supuesto, es no.

con vectores de base estándar $\mathbf e_k$, considerar
$R' := R +\alpha \mathbf e_1\mathbf e_d^T$
$R$ y $R'$ tienen las mismas entradas diagonales y, por lo tanto, tendrían el mismo límite superior fijo supuesto $M$. Sin embargo, seleccionando lo suficientemente grande$\alpha$ tenemos
$M\lt \frac{1}{d}\big \Vert R'\big\Vert_F \leq \sigma_1$