Muestra esa $e^{-|x|^\alpha}$ es $\lambda^d$ integrable para cada $\alpha>0$

Question

El ejercicio pide mostrar que la función $x\mapsto e^{-|x|^\alpha}$ desde $\mathbb{R}^d$ a $\mathbb{R}$ es es $\lambda^d$ integrable para cada $\alpha>0$, dónde $\lambda^d$ denota medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^d$. Como sugerencia nos remitimos a un ejercicio anterior donde hemos demostrado que la misma función en$\mathbb{R}$ es $\lambda^1$ integrable.

Esta pregunta usa coordenadas polares, pero en mi libro aún no hemos usado esta técnica. Más bien creo que debemos usar el teorema de Tonelli, pero entonces, ¿cómo puedo mostrar la integrabilidad de cada uno de los$d$ integrales sobre $\mathbb{R}$?

Answer 1

Esto se puede hacer con el teorema de Fubini-Tonelli. Dejar$f : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ ser una función tal que

$$0 \leq f(x_1, \ldots, x_d) \leq \prod_{i=1}^d g_i (x_i)$$

para todos $(x_i)_{1 \leq i \leq d}$ y algunas funciones no negativas $g_i$. Entonces el teorema de Fubini-Tonelli nos permite dividir la integral de$f$:

$$0 \leq \int_{\mathbb{R}^d} f \ d \lambda^d \leq \prod_{i=1}^d \int_{\mathbb{R}} g_i \ d \lambda^1.$$

Ahora, basta con encontrar una función integrable $g$ tal que $e^{-|x|^\alpha} \leq \prod_{i=1}^d g(x_i)$ En todas partes.

Lo más simple de intentar es tomar $g(x_i) = e^{-c |x_i|^\alpha}$ por alguna constante $c > 0$ (que puede depender de $d$). Por monotonicidad, la desigualdad se mantiene si y solo si

$$|x|^\alpha \geq c \sum_{i=1}^d |x_i|^\alpha$$

para todos $x \in \mathbb{R}^d$. Esto se puede hacer (por ejemplo, con$c = 1/d$), pero en este punto, te dejaré intentarlo.