Muestra esa $V_{\lambda'} \cong V_\lambda \otimes U$ dónde $V_\lambda$ es el módulo de Specht y $U$ es la representación del signo de $S_n$.

Question

Este es el ejercicio 4.4 (c) de la teoría de la representación de Fulton / Harris. La mayoría de las definiciones se pueden encontrar aquí:https://en.wikipedia.org/wiki/Young_symmetrizer. Dejar$\lambda \vdash n$. El módulo de Specht$V_\lambda$ es la representación irreductible de $S_n$ definido a través de la imagen $\mathbb{C}[S_n]c_\lambda$ de $c_\lambda$ es $\mathbb{C}[S_n]$ dónde $c_\lambda$es el simetrizador de Young. Quiero mostrar eso$$ V_{\lambda'} \cong V_\lambda \otimes U $$ dónde $U$ es la representación del signo y $\lambda'$ es la partición de $n$ conjugar a $\lambda$. Como submódulo del álgebra de grupos$\mathbb{C}[S_n]$, tenemos $U = \mathbb{C} \sum_{\pi \in S_n} sgn(\pi) \pi$.

¿Alguien puede ayudarme a mostrar esto? Necesito definir un$\mathbb{C}[S_n]$isomorfismo del módulo, pero realmente no entiendo cómo se ven los elementos del módulo de Specht. He visto una prueba usando politabloides, por ejemplo, en James, pero estoy tratando de entender la construcción de los módulos de Specht como submódulos del álgebra de grupo.

Answer 1

Dejar $\Phi:\mathbb{C}[S_n]\rightarrow \mathbb{C}[S_n]$ ser el mapa lineal que envía una permutación $\sigma$ a ${\rm sgn}(\sigma)\ \sigma$. Es un automorfismo de álgebra de$\mathbb{C}[S_n]$ que mapea el módulo Specht para $\lambda$ a eso para la transposición $\lambda'$. Pista: ¿este mapa$S_n$-equivariante? Si no es así, ¿cómo puede corregirlo?

Answer 2

Siguiendo la pista de Abdelmalek Abdesselam, primero defina $\Phi:\mathbb{C}[S_n] \to \mathbb{C}[S_n]$ vía $\sigma \mapsto \text{sgn}(\sigma)\sigma$y extensión lineal. Es un automorfismo de álgebra que mapea$V_\lambda \to V_{\lambda'}$. Para todos$\pi,\sigma \in S_n$, tenemos \begin{align*}\Phi(\pi\sigma) & = \text{sgn}(\pi) \pi \text{sgn}(\sigma) \sigma\\ & = \text{sgn}(\pi)\Phi(\sigma). \end{align*}

Ahora define un mapa $\rho:V_\lambda \otimes U \to V_{\lambda'}$ vía $\tau c_\lambda \otimes u \mapsto \Phi(\tau c_\lambda)u$y extensión lineal. El codominio es correcto ya que$\Phi(\tau c_\lambda) \in V_{\lambda'}$. Este mapa es$S_n$-equariante ya que para cualquier $\pi,\tau \in S_n$ y $u\in U$tenemos \ begin {align *} \ rho (\ pi (\ tau c_ \ lambda \ otimes u)) & = \ rho (\ pi \ tau c_ \ lambda \ otimes \ pi u) & (\ text {def. de$S_n$-acción en el producto tensor interno}) \\ & = \ Phi (\ pi \ tau c_ \ lambda) \ pi u \\ & = \ Phi (\ pi \ tau c_ \ lambda) \ text {sgn} (\ pi) u & (\ text {desde $U$ es la representación del signo}) \\ & = \ text {sgn} (\ pi) \ pi \ Phi (\ tau c_ \ lambda) \ text {sgn} (\ pi) u & (\ text {def. de $\Phi$}) \\ & = \ pi \ Phi (\ tau c_ \ lambda) u \\ & = \ pi \ rho (\ tau c_ \ lambda \ otimes u). \ end {alinear *}