¿Normal contablemente compacto implica colección normal sin T1?
En esta página del blog de topología de Dan Ma sobre espacios normales por colecciones , demuestra este resultado:
Proposición : Cualquier espacio normal (de Hausdorff) y compacta de forma contable es normal en términos de colección.
El blog asume que los espacios son de Hausdorff (o T1 aquí), pero me interesa saber qué sucede sin la suposición de T1.
Más específicamente, la proposición se deriva de lo siguiente:
Lema: Si$X$ es un espacio T1, los siguientes son equivalentes:
- (UN) $X$ tiene extensión contable;
- (B) Todas las familias discretas de subconjuntos cerrados no vacíos de X son como mucho contables.
Aquí la extensión de un espacio$X$ es el supremo de las cardinalidades de subconjuntos discretos cerrados de $X$. Una familia discreta de subconjuntos de$X$ es una familia tal que cada punto de $X$ tiene una reunión nbhd como máximo un grupo en la familia.
La prueba del lema no es difícil (ver más abajo para completar). De hecho, (B) implica (A) siempre, incluso sin el supuesto T1.
Pregunta: ¿(A) implica (B) sin la suposición T1?
No puedo probarlo, pero tampoco veo un contraejemplo. Si fuera cierto, generalmente podríamos concluir que cada espacio compacto de punto límite normal es normal en cuanto a colección (ya que los espacios compactos límite tienen una extensión contable). Para los espacios T1 no es una generalización ya que limit compact es equivalente a contablemente compacto en ese caso.
La prueba de (A) implica (B) asumiendo T1: Sea$\mathscr{F}$ser una familia discreta de subconjuntos cerrados no vacíos. Para cada$F\in\mathscr{F}$ elige algunos $x_F\in F$. Luego$\mathscr{G}=\{\{x_F\}:F\in\mathscr{F}\}$es una familia discreta de subconjuntos cerrados (singletons). Por lo tanto$A=\cup\mathscr{G}=\{x_F:F\in\mathscr{F}\}$es cerrado y discreto. Por lo tanto$A$ es como mucho contable y lo mismo es cierto de $\mathscr{F}$.
La prueba de (B) implica (A) sin suposición adicional: Sea$A$ ser un subconjunto cerrado y discreto de $X$. Para cualquier$x\in A$, el singleton $\{x\}$ está cerrado en $A$ porque $A$ es discreto y $A$ está cerrado en $X$, por lo tanto $\{x\}$ está cerrado en $X$. Entonces la familia$\mathscr{F}=\{\{x\}:x\in A\}$ es una familia discreta de subconjuntos cerrados no vacíos de $X$. Por lo tanto$\mathscr{F}$ es como mucho contable y también lo es $A$.
Respuestas
por $n\in\Bbb N$ dejar $U_n=\{k\in\Bbb N:k<n\}$, y deja $Y$ ser $\Bbb N$ con la topología
$$\{U_n:n\in\Bbb N\}\cup\{\Bbb N\}\,,$$
y deja $D$ser un espacio incontable con la topología discreta. Dejar$X=D\times Y$; claramente
$$\mathscr{F}=\big\{\{x\}\times Y:x\in D\big\}$$
es una incontable familia discreta de conjuntos cerrados en $X$. Dejar$A\subseteq X$. Si$|A\cap(\{x\}\times Y)|>1$ para algunos $x\in D$, luego $A$ no es discreto, y si $|A\cap(\{x\}\times Y)|=1$ para algunos $x\in D$, luego $A$ no está cerrado en $X$, entonces $X$ no tiene subconjuntos discretos cerrados no vacíos.
Brian ya ha demostrado que el lema (A) implica que (B) es falso si no se asume $T_1$.
Aquí hay una prueba de que el resultado del título original es verdadero, sin pasar por el lema por completo.
Proposición : (sin asumir$T_1$) Cualquier espacio normal contable compacto $X$ es normal en términos de recaudación.
Prueba: tome una familia discreta de subconjuntos cerrados de$X$. Ya que$X$es contablemente compacta, la familia debe ser finita. Este es el Lema 2 en esta respuesta . Ahora tenemos un número finito de subconjuntos cerrados no vacíos disjuntos por pares, y podemos encerrar cada conjunto de la familia en un conjunto abierto con los conjuntos abiertos disjuntos por pares, por normalidad de$X$.