Notación de subconjuntos con múltiples condiciones

Question

Dejar$p$Sea un número primo y sea$A = \{k : k\in\Bbb Z^+, 1\le k\le p\}$. Sea \begin{align} B &= \{k \in A: \text{$k$es primo}\}\\ C &= \{k \in A: \text{$k$es compuesto}\}\\ D &= \{(k, k+2): k \in A\} \end{align}

quiero crear$E$con la condición: esos pares de números en$B$, donde$k$es primo, y$k+2$es compuesto, y también quiero mostrar que$E$es un subconjunto de$D$.

por ejemplo si$p=5$, entonces$$A=\{1,2,3,4,5\},\ B=\{2,3,5\},\ C=\{4\},\ D=\{(1,3),(2,4),(3,5),(4,6),(5,7)\}$$Entonces$E=\{(2,4)\}$.

¿Puedo simplemente decir$E \subset D = \{(k,k+2) \in D: k \in B \text{ and } k+2 \in C\}$, o si no, ¿cómo debo formular lo que es$E$?

Answer 1

Entonces tenemos$$\begin{cases}B_p=\{k:1\le k\le p, k\text{ prime}\}\\C_p=\{k:1\le k\le p, k\text{ composite}\}=\{k:3\le k\le p, k\text{ composite}\}\\D_p=\{(k,k+2):1\le k\le p\}\end{cases}$$Quieres seleccionar esos números$k\in B_p$tal que$k+2$es compuesto. Tenga en cuenta que$1\le k\le p\Leftrightarrow 3\le k+2\le p+2$, asi que$k+2\in C_{p+2}$.

Asi que$(k,k+2)\in B_p\times C_{p+2}$. Pero$B_p\times C_{p+2}$contiene muchos elementos extraños que no son de la forma$(k,k+2)$. Así que tomamos la intersección con$D_p$para eliminar todos los pares que no son de la forma$(k,k+2)$. Por lo tanto, su conjunto requerido es$$E_p=B_p\times C_{p+2}\cap D_p$$A partir de aquí, es evidente que$E\subseteq D_p$. También tenga en cuenta que$(1,3)\in D_p\forall p$pero$(1,3)\notin E_p$y por lo tanto$E\subset D_p$.