¿Número de formas en que 3 bolas rojas idénticas y 3 bolas blancas idénticas se pueden distribuir entre 3 cajas distintas, ninguna caja está vacía?

Aug 18 2020

Como se menciona en el título, necesitamos calcular el número de formas en las que 3 bolas rojas idénticas y 3 bolas blancas idénticas se pueden distribuir entre 3 cajas distintas de manera que ninguna caja esté vacía.

Se han hecho algunas preguntas similares, pero ninguna que responda completamente a esta pregunta en particular (según mi conocimiento).

Traté de abordar esto haciendo algunos casos, que en realidad terminaron funcionando. Pero no pude crear un enfoque general para, digamos, n objetos idénticos de un tipo ym objetos idénticos de otro tipo en p cajas diferentes.

Respuestas

2 ChristianBlatter Aug 18 2020 at 17:12

Al principio tenemos $6$bolas blancas. Podemos tener$\{4,1,1\}$, $\{3,2,1\}$o $\{2,2,2\}$ bolas en las cajas, con $3$, $6$, $1$diferentes ordenamientos en los tres casos. Ahora pintamos tres de las seis bolas de rojo. En el$\{4,1,1\}$ caso de que podamos pintar tres de los $4$ rojo ($1$ camino), dos de los $4$ rojo ($2$ formas), o una de las $4$ rojo ($1$camino); hace$4$formas. En el$\{3,2,1\}$ caso de que podamos pintar los tres $3$ rojo ($1$ camino), dos de los tres rojos ($2$ formas), una de las $3$ rojo ($2$ formas), o ninguna de las $3$ rojo ($1$camino); hace$6$formas. En el$\{2,2,2\}$ caso que podamos hacer $2$ y $1$ bolas rojas en diferentes cajas$6$ formas) o una bola roja en cada caja ($1$camino); hace$7$ formas.

En total, hay $$3\cdot 4+6\cdot 6+1\cdot 7=55$$ diferentes distribuciones admisibles.

1 ȘtefanDumitrescu Aug 18 2020 at 13:47

Caso A. 4 bolas en la primera caja.

  1. En el cuadro podemos encontrar 3 bolas rojas y 1 blanca o 3 bolas blancas y 1 roja. Esto significa exactamente un arreglo para el segundo y tercer cuadro. Subtotal: 2 permutaciones
  2. En la caja podemos encontrar 2 bolas rojas y 2 bolas blancas. Esto significa dos arreglos posibles para la segunda y tercera caja. Subtotal: 2 permutaciones
    Total: 4 permutaciones

Caso B. 3 bolas en la primera caja.

  1. 3 rojos o 3 blancos. Esto significa 2 arreglos en las otras casillas. Subtotal: 4 permutaciones
  2. 2 rojos + 1 blanco o 1 rojo + 2 blancos. Esto significa 4 arreglos posibles en las otras casillas. Subtotal: 8 permutaciones
    Total: 12 permutaciones

Caja C. 2 bolas en la primera caja.

  1. 2 rojos o 2 blancos. Esto significa 6 arreglos posibles en las otras casillas. Subtotal: 12 permutaciones
  2. 1 rojo y 1 blanco. Esto significa 7 arreglos posibles en las otras casillas. Subtotal: 7 permutaciones
    Total: 19 permutaciones

Caso D. 1 bola en el primer cuadro. Solo de una manera: 1 rojo o 1 blanco. Esto significa 10 arreglos posibles en las otras casillas.
Total: 20 permutaciones

Conclusión: 4 + 12 + 19 + 20 = 55posibles permutaciones.