números primos y gcd [duplicado]

Question

Solo quería asegurarme de un problema.

Dejar$m, p= \text{prime}∈ ℕ-\{0\}$

Si $$m≤p^k,$$

¿Existe lo siguiente? $$\gcd⁡(m,p)≠1⟺ \gcd⁡(m,p^k)≠1$$ y hace la restricción $$m≤p^k$$ importa a la existencia?

¡¡¡Gracias por adelantado!!!

Answer 1

$m \le p^k$no es requerido. Si gcd$(m,p) \neq1$ luego $m$ y $p$ debe compartir un factor común, porque el único factor de $p$ es $p$ (y uno, pero no tendremos que preocuparnos por eso) entonces al menos $p$ debe ser un factor de $m$. Si ahora miramos al gcd$(m,p^k)$ $p^k$ tendrá un factor de $p$ y ya lo sabemos $m$ tiene un factor de $p$ y por lo tanto gcd$(m,p^k) \neq1$ ya que debe ser al menos igual a $p$. En ningún momento hemos requerido$m \le p^k$.