Operador Integral Compacto?

Question

Me he encontrado con un operador lineal interesante. No estoy seguro de si es compacto:$$ T: L^2([0, 1]) \rightarrow L^2([0, 1]), \quad (Tf)(x) := \int^1_0 (x-y)^2 f(y)~\mathrm{d}y. $$

Traté de usar el siguiente argumento: Let $(f_k)_{k \in \mathbb{N}} \subseteq L^2([0, 1])$ ser acotado y dejar $(f_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} \subseteq L^2([0, 1])$ ser una subsecuencia con límite débil $f \in L^2([0, 1])$. Entonces:$$ \lVert Tf_{n_k} - Tf \rVert_{L^2([0, 1])}^2 = \int_0^1 \left \lvert \int^1_0 (x-y)^2 (f_{n_k}(y) - f(y))~\mathrm{d}y \right \rvert^2 ~\mathrm{d}x \leq \sup_{x \in [0, 1]} \left \lvert \int^1_0 (x-y)^2 (f_{n_k}(y) - f(y))~\mathrm{d}y \right \rvert^2 $$ Todavía puedo probar que esto $\sup$ se alcanza en algunos $x_{n_k} \in [0, 1]$ pero esto no me ayuda debido a la dependencia de $n_k$. De lo contrario, habría utilizado una convergencia débil en ese punto.

¿Existe una manera más fácil o este operador es incluso compacto?

Answer 1

Es un operador de rango finito y, por lo tanto, compacto: $$(Tf)(x)=A\,x^2-B\,x+C,$$ dónde $A=\int^1_0f(y)\,dy, B=2\int^1_0y\,f(y)\,dy, C=\int^1_0y^2\,f(y)\,dy$, por lo que la imagen de un conjunto acotado es un subconjunto acotado de un subespacio tridimensional de $L^2([0, 1])$.

Answer 2

Si $k(x,y)=a(x)b(y)$, dónde $a$ y $b$ son funciones continuas en $[0,1]$, entonces $$ \int_0^1 k(x,y) f(x)\, dx = \left(\int_0^1 a(x) f(x)\, dx\right) b(y) = \langle a,f\rangle b(y). $$ Por tanto, el operador integral $T_k$, dado por el kernel integral $k$, satisface $T_k(f) = \langle a,f\rangle b$y, como consecuencia, $T_k$se considera un operador de rango uno. Si en cambio,$$ k(x,y)=\sum_{i=1}^na_i(x)b_i(y), \tag{1} $$ dónde $a_i$ y $b_i$ son de nuevo funciones continuas en $[0,1]$, el operador integral correspondiente satisface $$ T_k(f) = \sum_{i=1}^n \langle a_i,f\rangle b_i, \quad \forall f\in L^2[0,1], $$ entonces el rango de $T_k$ es como máximo $n$, por tanto, finito.

Si luego asumimos que $k$ es un límite uniforme de funciones $k_n$ de la forma (1), no es difícil ver que $T_{k_n}\to T_k$, en la norma del operador, entonces $T_k$ es un operador compacto ya que es el límite de los operadores de rango finito.

El teorema de Stone-Weierstrass puede invocarse fácilmente para mostrar que el subconjunto de $C([0,1]\times[0,1])$ formada por todas las funciones de la forma (1) es densa, por lo que la conclusión del párrafo anterior es válida para cualquier $k$. Esto demuestra:

Teorema . Cualquier operador integral en$L^2[0,1]$ con un núcleo integral continuo es compacto.