Operador laplaciano 3D

Question

No he podido encontrar el equivalente de las diferencias finitas de la plantilla de 5 puntos para el operador laplaciano.

En 2 dimensiones para mí está claro que, usando el método de diferencias finitas: $$ \nabla_{2D}^2u = \frac{1}{h^2} \left( u_{1,0} + u_{-1,0} + u_{0,1} + u_{0,-1} -4 u_{0,0} \right) $$ (siendo h el tamaño de la cuadrícula / paso)

Pero no estoy seguro de si es completamente simétrico para el caso tridimensional. ¿Puedo agregar los términos que se refieren a la tercera dimensión?$$ \nabla_{3D}^2u = \frac{1}{h^2} \left( u_{1,0,0} + u_{-1,0,0} + u_{0,1,0} + u_{0,-1,0} + u_{0,0,1} + u_{0,0,-1} -6 u_{0,0,0} \right) $$

También sería útil una fuente donde pudiera encontrar los diferentes términos de precisión para el laplaciano 3D.

Answer 1

Sí, esa diferencia finita es correcta. Puede obtenerlo usando una diferencia finita en cada dirección para el operador de Laplace en cada coordenada.

\begin{align} \nabla^2 u =& \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\\ \approx& \frac{1}{h^2}[u(x + h, y, z) - 2u(x, y, z) + u(x -h, y, z)]\\ &+ \frac{1}{h^2}[u(x, y + h, z) - 2u(x, y, z) + u(x, y - h, z)]\\ &+ \frac{1}{h^2}[u(x, y, z + h) - 2u(x, y, z) + u(x, y, z - h)]\\ =& \frac{1}{h^2}[u(x + h, y, z) + u(x -h, y, z) + u(x, y + h, z) + u(x, y - h, z)\\ &+ u(x, y, z + h) + u(x, y, z - h) - 6u(x, y, z)]\, . \end{align}

Alternativamente, puede interpolar un polinomio que pase por los puntos en su plantilla y luego calcular su laplaciano y evaluarlo en $(x, y, z)$.