$p$-representación ádica

Question

Estoy leyendo sobre $p$-representación ádica. Parece que no puedo entender como$p$-La representación ádica es una especie de imagen especular de la base $p$ representación de números reales.

Dado $\alpha \in \mathbb Q_{p}$ con

$$ \alpha = \sum_{k=-r}^{\infty} a_{k}p^k,$$

podemos escribir $\alpha$ como $$ \alpha = \cdots a_3a_2a_1a_0.a_{-1}a_{-2} \cdots a_{-r}.$$

Parece que no puedo entender cómo podemos sumar y multiplicar $p$-números ádicos. ¿Alguien podría explicarlo con un ejemplo concreto? Posiblemente ($\cdots 555.5)^2$ en $\mathbb Q_{7} $ desde que leí sobre él y no puedo comprender nada?

Answer 1

Mi recomendación es la siguiente: prepare usted mismo una tabla de sumar y una tabla de multiplicar para números enteros. $0,1,\dots,6,7$, que están anotados $0,1,\dots,6,10$en notación septaria. Luego proceda con su multiplicación exactamente de la misma manera (espero que) que aprendió en la escuela primaria, con acarreos, etc. Verías un patrón, ya que$\dots555;5$ es el número racional $\frac{-5}{42}$, pero tarda un poco en aparecer. A treinta lugares, su cuadrado de los anteriores resulta ser$$\dots2065432065432065432065432065;44 $$

Aunque he hecho muchas $p$-cálculos ádicos de este tipo a mano, les aseguro que para este cálculo conté con la ayuda de un paquete que maneja $p$-números ádicos.

Answer 2

$\Bbb{Z}_7$ y $\Bbb{Q}_7$ son la finalización de $\Bbb{Z}$ y $\Bbb{Q}$ por el valor absoluto $|p^k c/d|_7= p^{-k},p\nmid c,p\nmid d$. Entonces funciona de la misma manera que para$\Bbb{R}$ la finalización de $\Bbb{Q}$ para $|.|_\infty$. Realice una aproximación concreta a su serie$\sum_{k=-r}^{\infty} a_{k}p^k,\sum_{k=-r}^{\infty} b_{k}p^k$ por $\sum_{k=-r}^n a_{k}p^k,\sum_{k=-r}^n b_{k}p^k$, multiplica como números racionales estándar, obtienes una aproximación de $(\sum_{k=-r}^{\infty} a_{k}p^k)(\sum_{k=-r}^{\infty} b_{k}p^k)$