PDE homogénea, cambio de variable
Tengo un PDE $\dfrac{df}{d \xi}-\xi\dfrac{d x_1}{d \xi}=0$ homogéneo para $\xi$, dónde $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ es función de $x_1,\cdots,x_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, que a su vez son funciones de $\xi$ (entonces, $\dfrac{df}{d \xi}$ es una derivada total).
tambien tengo $\xi=y/z\in\mathbb{R}$, dónde $y,z\in\mathbb{R}$, y uno dijo que una vez que el PDE es homogéneo en $\xi$ yo tengo $\dfrac{df}{d y}-\xi\dfrac{d x_1}{d y}=0$.
Me perdí esta brecha. Imagino que puedo multiplicar la primera EDO por$\dfrac{d\xi}{d y}=\dfrac{1}{z}$, entonces
$$\dfrac{df}{d \xi}\dfrac{d\xi}{d y}-\xi\dfrac{d x_1}{d \xi}\dfrac{d\xi}{d y}=\sum_{i=1}^n \dfrac{\partial f}{\partial x_i}\dfrac{d x_i}{d\xi}\dfrac{d\xi}{d y}-\xi\dfrac{d x_1}{d y}=\sum_{i=1}^n \dfrac{\partial f}{\partial x_i}\dfrac{d x_i}{d y}-\xi\dfrac{d x_1}{d y}=\dfrac{d f}{d y}-\xi\dfrac{d x_1}{d y}=0.$$
Pero no estoy seguro. De hecho, me gustaría saber cómo afirmar esto solo a partir del hecho de homogéneo.
Muchas gracias.
Relacionado: Igualdad entre dos derivadas totales
Respuestas
Asumir que $f:\textbf{R}^n\rightarrow\textbf{R}$ y $f=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ es una función de $n$variables. Al decir que$x_i=x_i(\xi)$, entonces $C:\overline{x}=\{x_1(\xi),x_2(\xi),\ldots,x_n(\xi)\}$, $\xi\in\textbf{R}$, entonces $C$ es un objeto dimensional en $\textbf{R}^n$ y por lo tanto $C$ es una curva de $\textbf{R}^n$. Entonces $$ \frac{df}{d\xi}=\sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial x_k}\frac{dx_k}{d\xi} $$ es la derivada de $f$ allong $C$ (o derivada total de $f$ a lo largo de la curva $C$). También tienes la ecuación: $$ \frac{df}{d\xi}-\xi\frac{dx_1}{d\xi}=0\Leftrightarrow \sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial x_k}\frac{dx_k}{d\xi}=\xi\frac{dx_1}{d\xi} \tag 1 $$ Si $\xi=u y$, entonces $\frac{d\xi}{dy}=u$. Por lo tanto $$ \frac{df}{d\xi}-\xi\frac{dx_1}{d\xi}=0\Leftrightarrow \frac{df}{dy}\frac{dy}{d\xi}-\xi\frac{dx_1}{dy}\frac{dy}{d\xi}=0\Leftrightarrow \frac{df}{dy}\frac{1}{u}-\xi\frac{dx_1}{dy}\frac{1}{u}=0\Leftrightarrow $$ $$ \frac{df}{dy}-\xi\frac{dx_1}{dy}=0.\tag 2 $$ Esto responde a su primera pregunta sobre el cambio de variables.
Sobre la homogeneidad
Sin embargo, si $f$ es una función homogénea, entonces tenemos aún más
Si la función $f$ es homogéneo de grado $\lambda$. Luego estableciendo$x_i=uy_i$ en la ecuación (1) tenemos, (sabiendo que $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ y $(x_1,x_2,\ldots,x_n)\rightarrow x_1$ son homogéneos es decir $f(uy_1,uy_2,\ldots,uy_n)=u^{\lambda}f(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ y $(ux_1)=ux_1$ de grado 1): $$ \sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial x_k}(uy_1,uy_2,\ldots,uy_n)\left(u\frac{dy_k}{d\xi}\right)-\xi\left(u\frac{dy_1}{d\xi}\right)=0\Leftrightarrow $$ $$ u^{\lambda-1}\sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial y_k}(y_1,y_2,\ldots,y_n)\left(u\frac{dy_k}{d\xi}\right)-\xi u\frac{dy_1}{d\xi}=0 $$ $$ u^{\lambda-1}\sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial y_k}(y_1,y_2,\ldots,y_n)\frac{dy_k}{d\xi}-\xi \frac{dy_1}{d\xi}=0.\tag 3 $$ (Eso es porque cuando $f(x_1,x_2,\ldots ,x_n)$ es homogéneo de grado $\lambda$, entonces $\frac{\partial f}{\partial x_{j}}$ es homogéneo de grado $\lambda-1$ es decir $\frac{\partial f}{\partial x_j}(uy_1,uy_2,\ldots,uy_j,\ldots,uy_n)=u^{\lambda-1}\frac{\partial f}{\partial x_j}(y_1,y_2,\ldots,y_n)$). Por lo tanto cuando$\lambda=1$, entonces (3) se convierte en: $$ \sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial y_k}\frac{dy_k}{d\xi}-\xi\frac{dy_1}{d\xi}=0.\tag 4 $$ Por tanto, si $f=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ es homogénea de grado 1, entonces la ecuación (1) es PDE homogénea (invariante bajo cualquier transformación de variables de la forma $x_i=uy_i$, $i=1,2,\ldots,n$).