¿Por qué las relaciones de congruencia suelen corresponder a algún tipo de subobjeto?
Desde la perspectiva del álgebra universal, las estructuras cocientes de estructuras algebraicas se construyen utilizando https://en.wikipedia.org/wiki/Congruence_relation. Si$A$ es una estructura algebraica (un conjunto con un montón de operaciones en el conjunto) y $R$ relación de congruencia en un conjunto, entonces el cociente $A/R$ está bien definido y será una estructura algebraica del mismo tipo.
Ahora bien, resulta que, en categorías algebraicas particulares, estas relaciones de congruencia en $A$ corresponden exactamente a algún tipo de subobjeto de $A$. Por ejemplo, las relaciones de congruencia en un anillo corresponden precisamente a los ideales de ese anillo; las relaciones de congruencia en un grupo corresponden precisamente a los subgrupos normales de ese grupo; las relaciones de congruencia en un módulo corresponden precisamente a los submódulos de ese módulo.
¿Por qué las relaciones de congruencia suelen corresponder a algún tipo de subobjeto? ¿Es este un fenómeno general que puede generalizarse a todas las estructuras algebraicas (como se estudia en esta generalidad por el álgebra universal)?
Respuestas
Recuerde que las congruencias en $A$ puede verse como ciertas subálgebras de su cuadrado $A^2,\,$ p.ej https://math.stackexchange.com/questions/16121/find-all-subrings-of-mathbbz2/16157#16157.
En álgebras como grupos y anillos, donde podemos normalizar $\,a = b\,$ a $\,a\!-\!b = \color{#c00}0\,$las congruencias están determinadas por una sola clase de congruencias (por ejemplo, un ideal en un anillo). Esto tiene el efecto de colapsar dicha relación entre congruencias con subálgebras de $A^2$ Abajo a $A.\,$ Estas álgebras se denominan variedades ideales determinadas y se han estudiado mucho.
Una respuesta a su pregunta es que las variedades determinadas por ideales se caracterizan por dos propiedades de sus congruencias, a saber, ser $\,\rm\color{#c00}{0\text{-regular}}\,$ y $\rm\color{#c00}{0\text{-permutable}}$. A continuación se muestra un extracto de un artículo sobre temas relacionados que ofrece un buen punto de entrada a la literatura sobre este y otros temas relacionados.
http://dx.doi.org/10.1007/s000120050059
Paolo Agliano y Aldo Ursini
- Prefacio
Nos han hecho las siguientes preguntas:
- (a) ¿Para qué sirven los ideales del álgebra universal?
- (b) ¿Para qué sirven las variedades sustractivas?
- (c) ¿Existe alguna razón para estudiar la definibilidad de los ideales principales?
Al estar en medio de un proyecto en variedades sustractivas, este parece el lugar adecuado para abordarlas.
Para (a). La noción de ideal en álgebra general [13], [17], [22] apunta a recapturar algunas propiedades esenciales de las clases de congruencia de$0$, para alguna constante dada $0$. Abarca: subgrupos normales, ideales en anillos o grupos de operadores, filtros en álgebras booleanas o de Heyting, ideales en álgebra de Banach, en grupos I y en muchos entornos más clásicos. En cierto sentido, es un lujo, si uno está satisfecho con la noción de "clase de congruencia de$0$Así, en parte, esta pregunta podría convertirse en: ¿Por qué ideales en anillos? ¿Por qué subgrupos normales en grupos? ¿Por qué filtros en álgebras booleanas ?, y muchas más. No tenemos ganas de intentar ninguna respuesta a esas preguntas. En otro sentido, la pregunta ( a) sugiere preguntas similares: ¿Para qué sirven las subálgebras en el álgebra universal? y muchas más Posiblemente, toda la empresa llamada "álgebra universal" ¿está ahí para responder tales preguntas?
Dicho esto, está claro que el escenario más apropiado para una teoría de ideales es el de clases ideales determinadas (es decir, cuando se mapea una congruencia E a su $0$-clase $\,0/E$establece un isomorfismo de celosía entre la celosía de congruencia y la celosía ideal). El primer artículo en esta dirección [22] llevaba eso en su título.
Resulta que, para una variedad V, la determinación ideal es la conjunción de dos características independientes:
V tiene $\,\rm\color{#c00}{0\text{-regular}}\,$ congruencias, es decir, para cualquier congruencia $\rm\,E,E'$ de cualquier miembro de $V,$ desde $\,\rm 0/E = 0/E'$ sigue $\rm\,E = E'$.
V tiene $\,\rm\color{#c00}{0\text{-permutable}}\,$ congruencias, es decir, para cualquier congruencia $\,\rm E,E'$ de cualquier miembro de $V,$ Si $\,\rm 0 \ E\ y \ E'\, x,\,$ entonces para algunos $\rm z,\ 0\ E'\, z\ E\ x.$
Esto no es cierto "normalmente"; por ejemplo, no es cierto para monoides o semirrings. Es un hecho muy especial que es cierto para grupos y anillos, y en ambos casos es cierto por la misma razón: la presencia de inversas le permite reemplazar el pensamiento sobre una relación de equivalencia.$a \equiv b$ con pensar en $b^{-1} a \equiv 1$ para grupos (produciendo subgrupos normales) y $a - b \equiv 0$ para anillos (produciendo ideales).
Tenga en cuenta también que, estrictamente hablando, los ideales no son subobjetos en la categoría de anillos (con identidad).
Esto es generalmente falso . El hecho de que se mantenga en grupos y anillos se debe al hecho de que en cada caso tenemos una operación con identidad e inversas, es decir, la operación de grupo o la adición de anillo, respectivamente.
Mientras tengamos tal operación, cada congruencia está determinada por una sola clase. Para ver esto, suponga$S$ es una estructura con un funcionamiento invertible $*$, $a\in S$y $\sim,\approx$ son congruencias en $S$ con $[a]_\sim=[a]_\approx$. Reparar$b\in S$; queremos mostrar$[b]_\sim\subseteq[b]_\approx$ (del cual por simetría y generalización universal obtendremos $\sim=\approx$).
Suponer $b\sim c$. Entonces$b b'a\sim cb'a$, dónde $x'$ denota el $*$-inverso de $x$. Esto significa$a\sim cb'a$, y así desde $[a]_\sim=[a]_\approx$ obtenemos $a\approx cb'a$. Ahora deshacemos el paso anterior: multiplicamos a la derecha por$a'b$ Llegar $b\approx c$ como se desee.