Pregunta sobre el espacio vectorial y el subespacio
Dejar $A = \{(x, y, z, w) \in \mathbb F^4 | x - 3y + w = -7\}$. Es$A$un espacio vectorial? ¿Es un subespacio?
Solo quiero confirmar si lo estoy haciendo bien o no.
Xa $A$ para ser un espacio vectorial, debe satisfacer la propiedad de cierre con la adición.
Dejar $a_1 = (x_1, y_1, z_1, w_1)$ y $a_2 = (x_2, y_2, z_2, w_2)$.
$$\tag{1} x_1 - 3y_1 + w_1 = -7,$$
$$\tag{2}x_2 - 3y_2 + w_2 = -7,$$
$$a_1 + a_2 = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2, w_1 + w_2)$$
$$a_1 + a_2 = (x_1 + x_2) - 3 ( y_1 + y_2) + (w_1 + w_2) = -7$$
$a_1 + a_2$ es un elemento de $A$. Sumando (1) y (2) obtenemos,
$$(x_1 + x_2) - 3(y_1 + y_2) + (w_1 + w_2) = -14.$$
$a_1 + a_2$ no es un elemento de $A$. Por lo tanto$A$ no es un espacio vectorial ni un subespacio.
¿Es correcto?
Respuestas
No, no lo estás haciendo bien. Su trabajo no es necesariamente incorrecto, pero no ha entendido el objetivo del ejercicio.
El conjunto dado no contiene el elemento $(0,0,0,0)$. Por tanto, no es subespacio de$\mathbb{F}^4$. Ni siquiera es un espacio vectorial si estamos considerando la multiplicación escalar de entrada y la suma de vectores.
Te has perdido algunos pasos importantes. Para verificar si algo es un espacio vectorial, debe verificar un montón de axiomas diferentes (8 axiomas diferentes, según el libro del que haya aprendido). Para verificar si algo es un subespacio de un espacio vectorial dado, solo necesita verificar que satisfaga el cierre en ambas operaciones y que contenga la identidad aditiva del espacio vectorial. Debería revisar estas definiciones antes de hacer más problemas.
Cada subespacio vectorial debe contener el origen. Las líneas y planos que pasan por el origen forman subespacios vectoriales.