Presentación del subgrupo

Question

Dejar $G$ ser el grupo con presentación $$G = \langle \sigma_1 ,\sigma _2 , \sigma _3\, |\, \sigma _1^2=\sigma _2^2=\sigma _3^2=(\sigma _1\sigma _2)^p =(\sigma _2\sigma _3)^q =(\sigma _3\sigma _1)^r =1\rangle .$$ Quiero tener una presentación para el subgrupo $H$ generado por los elementos $\tau _1=\sigma _1\sigma _2,\, \tau _2=\sigma _2\sigma _3,\ \tau _3=\sigma _3\sigma _1$.

¿Es suficiente con conjeturar la presentación? $$ H=\langle \tau _1,\tau _2 ,\tau _3\, |\, \tau _1^p=\tau _2^q=\tau _3^r=\tau _1\tau _2\tau _3 =1 \rangle$$ y argumentan que las relaciones en la presentación de $G$ implican claramente las conjeturas para $H$ y que las relaciones de $H$ implican las relaciones en la presentación de $G$.

Answer 1

No, esto no es suficiente, ya que puede haber relaciones "ocultas". En tu ejemplo,$H$ de hecho tiene la presentación dada, y presumiblemente es posible mostrar esto "a mano" usando propiedades del grupo $G$, pero no es "claramente" cierto.

Alternativamente, puede utilizar el método Reidemeister-Schreier. Este es un proceso para encontrar una presentación de un subgrupo dado de un grupo, y funciona bien aquí porque$H$ tiene un índice finito en $G$. Hay dos enfoques para el método: la versión combinatoria / algebraica clásica como se cubre en la Sección 2.3 del libro Teoría de grupos combinatorios de Magnus, Karrass y Solitar, o en la Sección II.4 del libro de Lyndon y Schupp del mismo nombre, y el versión topológica utilizando revestimientos de complejos de presentación (ver aquí ). Personalmente, estoy a favor de la versión topológica, ya que la veo como una "visualización" de la versión algebraica.

El proceso también se puede realizar en una computadora (ver aquí ), aunque la computadora querrá$p,q,r$ ser arreglado.