Primitive root modulo prime power

Question

Si yo encuentro $a$ es PR mod p, entonces un teorema establece que $a$ sí mismo o $a+p$ es el mod PR $p^2$. ¿Existe un método rápido para verificar los exponentes de$a$, en lugar de analizar todos los elementos de $\{1,...,\phi(p^2)\}$? Recuerdo que el exponente de$a$ ($ord_{p^2}(a)$) toma valor en el conjunto todos los divisores de $\phi(p^2)$, pero no estoy seguro de recordarlo correctamente.

Más desde el módulo $p^2$ se extiende desde el módulo $p$, Me pregunto si $\phi(p)$ va a involucrar en el exponente $e$ de $a^e \equiv 1$ modificación $p^2$? ¡Gracias por adelantado!

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Un ejemplo concreto: se encuentra que 2 es un módulo raíz primitivo 13, ¿cómo puedo mostrar que 2 también es un mod raíz? $13^2$? Para el exponente de 2, voy a verificar todos los divisores de$\phi(13^2)$= 156: $\{1, 2, 3, 4, 6, 12, 13, 26, 39, 52, 78, 156\}$y mostrar 156 en sí mismo es el menor $e$ tal que $2^e\equiv 1$ modificación $13^2$?

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Un resultado relevante y más general:

(https://en.wikipedia.org/wiki/Primitive_root_modulo_n)

Answer 1

Suponer que $a$ es una raíz primitiva (mod $p$). Un resultado más preciso es:

• $a$ es una raíz primitiva (mod $p^2$) si y solo si $a^{p-1}\not\equiv1$ (modificación $p^2$);
• del $p$ números $a$, $a+p$, ..., $a+(p-1)p$, exactamente uno de ellos satisface $(a+kp)^{p-1}\equiv 1$ (modificación $p^2$).

Entonces, simplemente puede calcular $a^{p-1}$ modulo $p^2$ para determinar la respuesta.