Probabilidad de falla estructural
En ingeniería estructural tenemos que aceptar el hecho de que nunca se puede estar exactamente seguro de cuánta carga puede resistir un miembro estructural, que la capacidad de carga de un elemento no es un valor exacto sino distribuida con alguna función de distribución de probabilidad (calidad del hormigón colocado , por ejemplo, depende bastante de muchas condiciones en el lugar de trabajo, como la habilidad de los trabajadores, etc.). Lo mismo ocurre con las cargas estructurales. Por lo tanto, no podemos decir con absoluta certeza si alguna estructura es estable, solo podemos calcular ciertas probabilidades .
En la imagen de abajo, la curva de la izquierda representa la densidad de probabilidad de las posibles cargas, y la de la derecha representa la densidad de probabilidad de la capacidad de carga de algún elemento estructural. El eje y es la densidad de probabilidad y el eje x es la carga estructural. El área roja donde las curvas se superponen es un rango de cargas donde es posible una falla estructural; antes de ese rango hay "cero" posibilidad de que la capacidad sea tan baja, por lo que la capacidad debe ser mayor que cualquier carga posible (la falla se define como un escenario donde la carga es mayor que la capacidad). Más allá de este rango, la carga tiene una posibilidad "cero" de ser mayor que la capacidad, por lo tanto, no hay posibilidad de falla.
La probabilidad real de falla se puede calcular de la siguiente manera, según Wikipedia:
$${\displaystyle P_{f}=\int _{0}^{\infty }F_{R}(s)f_{s}(s)\,ds\qquad \mathrm {} }$$
dónde $F_R(s)$ es la probabilidad de la función de distribución acumulada de resistencia / capacidad (R) y $f_s(s)$ es la densidad de probabilidad de la carga (S).
Me cuesta entender por qué la fórmula anterior da la probabilidad de falla. Se supone que esto da la probabilidad de que la carga sea mayor que la capacidad / resistencia, pero no puedo entender cómo funciona eso. ¿Alguien podría explicarme esto con más detalle? Estoy familiarizado con las funciones de distribución de probabilidad y las funciones de distribución acumulativa, pero no entiendo lo que está sucediendo aquí. ¿Por qué se toma la función acumulativa de la resistencia de carga pero la función de densidad de probabilidad de la carga?
Respuestas
Como lo mencionó @mart anteriormente, creo que hay algo mal con la curva de $F_R(s)$. El texto indica la función acumulativa, por lo que debería haber sido algo así como.
La forma en que explicaría la probabilidad de falla es la siguiente. Hay falla si la carga es mayor (S) que la capacidad de resistencia estructural (R). Por lo tanto, desea iterar sobre todas las cargas posibles (por lo tanto, la densidad de probabilidad de una carga s).
Suponiendo que obtiene una carga estructural s de S, por ejemplo, 1 [kN]. Si la estructura tiene R mayor que S, no hay falla. Así que está interesado en todos los valores, por debajo de S. Esa es la probabilidad de$$P(R\le S) = \int_{0}^Sf_R(s)ds = CDF_R(s)=F_R(s)$$.
Dado que las dos probabilidades (A: carga en S), (B: la resistencia R es menor o igual a la carga S) son estadísticamente independientes, su probabilidad de ocurrir simultáneamente viene dada por:
$$P(A\cap B) =P(A)\cdot P(B)= f_s(s)\cdot F_R(s)$$
Entonces todo lo que necesita hacer es integrar en toda la gama de $s$. Eso te atrapa:
$$P_{f}=\int _{0}^{\infty }F_{R}(s)f_{s}(s)\,ds$$
TL; DR Creo que la entrada de Wikipedia es incorrecta y confusa.
Suponga que la capacidad de resistencia tiene una función de densidad de probabilidad entre 1 kN y 2 kN y es 0 en cualquier otro lugar.
¿Qué pasa si aplica una carga de 1.000 kN? Respuesta: la estructura está garantizada para fallar.
Por lo tanto, debe utilizar la función de densidad acumulativa para la resistencia. La densidad acumulativa es 1.0 para cualquier carga superior a 2 kN.
SI usa la densidad de probabilidad para la resistencia en lugar de la densidad acumulada, está diciendo que la estructura podría fallar para cargas entre 1 kN y 2 kN, pero no fallará para ninguna carga superior a 2 kN, lo cual obviamente es incorrecto.