probar la continuidad de una función

Question

Dado dos espacios topológicos $X$ y $Y$, $f:X\times Y\rightarrow \mathbb{R}$es continuo. Entonces, ¿cómo probamos$f_x:Y\rightarrow\mathbb{R}$ definido como $f_x(y)\equiv f(x,y)$ es cotinuo para $\forall x\in X$?

Para cualquier set abierto $U\subset\mathbb{R}$, tenemos que mostrar $f^{-1}_x(U)$ está abierto en $Y$. $f_x^{-1}(U)= \pi_Y(f^{-1}(U)\cap (\{x\}\times Y) )$, dónde $\pi_Y$es el mapa de proyección, que está abierto. Pero$(\{x\}\times Y)$ no está abierto.

Ah, $f^{-1}(U)$ está abierto en $X\times Y$, por tanto, es la unión de conjuntos abiertos básicos, es decir, $f^{-1}(U)=\cup_i A_i\times B_i$. Entonces,$\pi_Y(f^{-1}(U)\cap (\{x\}\times Y))=\cup_j B_j$ que está abierto en $Y$.

Answer 1

Reparar $x \in X$ y considerar $i_x : Y \to X \times Y$ dada por $i_x(y) = (x,y)$. Entonces, para un set abierto$U$ en $X \times Y$ tenemos $i_x^{-1}(U) = \pi_Y(U)$, que está abierto ya que las proyecciones son mapas abiertos . Resulta que$i_x$ es continuo, y por lo tanto, $f \circ i_x = f_x$ también es continuo.