Proyecciones de espacios totalmente desconectados

Question

Dejar $X$ y $Y$ser dos espacios métricos. Si$K$ es un subconjunto totalmente desconectado de $X\times Y$ deben las proyecciones $\pi_{X}(K)$ y $\pi_{Y}(K)$también estar totalmente desconectado? ¿Qué pasa si se supone que X e Y son compactos?

Answer 1

No, incluso cuando ambos son compactos.

Considerar $X=Y=[0,1]$ y deja $C=(\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q})\cap X$. Tenga en cuenta que$C$está totalmente desconectado e incontable. Ahora deja$f:C\to[0,1]$ Sea cualquier biyección y considere

$$K=Gr(f)=\{(x,f(x))\ |\ x\in C\}\subseteq X\times Y$$

No es dificil ver eso $K$ está totalmente desconectado también, pero $\pi_2(K)=[0,1]$.