Prueba $A\setminus(A\setminus B)=A\cap B$

Question

Estoy tratando de demostrar eso por sets $A$ y $B$ tenemos $$A\setminus(A\setminus B)=A\cap B$$

Procedo de la siguiente manera:

Si $x\in A\setminus(A\setminus B),$ luego $$\begin{align}x\in A \wedge x\notin(A\setminus B) \tag1& \iff x\in A \wedge (x\notin A \vee x\in B)\\ &\iff (x\in A \wedge x\notin A) \vee(x\in A \wedge x\in B)\tag2\\ & \iff x\in A \wedge x \in B\tag3\\ & \iff x\in A\cap B\tag4\end{align}$$

Así, desde $A\setminus(A\setminus B)\subset A\cap B$ y $A\cap B \subset A\setminus(A\setminus B)$, tenemos

$$A\setminus(A\setminus B) = A \cap B$$

Mi pregunta es: ¿qué $(x\in A \wedge x \notin A)$ contribuir en línea $2$? Para que la prueba funcione, uno tiene que asumir diciendo$x\in A \wedge x \notin A $ es equivalente a decir $x\in\emptyset$. ¿Es esto correcto?

Answer 1

Declaración $x\in A\wedge x\notin A$ es de hecho equivalente a la afirmación de que $x\in\varnothing$.

Pero esto se basa únicamente en el hecho de que ambas declaraciones son falsas .

Por ejemplo, también es equivalente a la afirmación de que $1=2$.

Declaración $p\vee q$ es una afirmación verdadera si $p$ es una afirmación verdadera o $q$ es una afirmación verdadera.

Entonces, si observamos en esa situación que $p$ es falso, entonces concluimos que $q$ es verdad.

Answer 2

Así es. Cómo podría$x$ ambos estarán en $A$ y tampoco estar en $A$? Nunca sucede, así que cuando "o" esa condición con cualquier otra cosa, podemos simplemente omitir la condición imposible (que es como se obtuvo la línea 3).

"Tengo siete años y nueve años" o "Tengo una planta en maceta" es equivalente a "Tengo una planta en maceta".