Prueba de $\max(A+B) = \max(A) + \max(B)$ ¿correcto?

Question

Hola, estoy tratando de demostrar lo siguiente: $A, B \subset \mathbb {Q}$ y $A+B = \{a+b: a\in A, b \in B\}$.

Suponer $\max(A)$ y $\max(B)$ existir, muestra que $\max(A+B)$ también existe y que

$$\max(A+B)= \max(A) + \max(B)$$

Tengo la siguiente prueba, no estoy seguro de si es correcta:

El numero real $\max(A) + \max(B) \geq x$ para todos $x \in A+B$

Ya que $\max(A) \in A$ y $\max(B) \in B$ la definición de $A+B$ ese $\max(A+B) \in A+B$ sostiene.

Ahora deja $x \in A+B$. $\Rightarrow$ existe $a \in A$ y $b \in B$ tal que $x = a+b$

Según la definición de $\max$ sin embargo, $\max(A) \geq a$ y $\max(B) \geq b$.

Por lo tanto $\max(A) + \max(B) \geq a+b = x$

¿Es correcta esta prueba?

Answer 1

Tu prueba es correcta, pero un poco redundante. Demostraste eso$\max(A)+\max(B) \ge x$ para todos $x \in A+B$y me explicaste como $\max(A)+\max(B) \in A+B$. Esto es suficiente para mostrar lo que necesitamos, ya que hemos encontrado un límite superior para$A+B$ que también pertenece a $A+B$, de ahí que sea el máximo.