Prueba de que $f(\bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda) = \bigcap_{\lambda \in L} f(A_\lambda)$ si $f$ es inyectable

Question

Tengo la intención de demostrar que $f\colon X\to Y$ es inyectable para cualquier familia $(A_{\lambda})_{\lambda\in L}$ de subconjuntos de $X$ tenemos $f(\bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda) = \bigcap_{\lambda \in L} f(A_\lambda)$.

Primero, demostremos que para $f\colon X\to Y$y $A\subset X$, $f$ es inyectivo iff $A= f^{-1}(f(A))$

Prueba. ($\Rightarrow$). Por contradicción. Si$f$ es inyectivo, entonces para cualquier $x_1,x_2\in X$ tenemos $x_1\neq x_2 \implies f(x_1)\neq f(x_2)$. Escoger$x_1\in A\subseteq X$ y $x_2 \in X\setminus A$, es obvio que $f(x_1)\in f(A)$ mi $f(x_2)\in f(X\setminus A)$. Entonces cada$y\in f(A)$, porque $f$ es inyectivo, corresponde a un único punto $x\in A\subseteq X$ tal que $f(x)=y$. Entonces para todos$A\subseteq X$ podemos decir eso $f^{-1}(f(A))=A$. Si hubiera un elemento$x_3\in X\setminus A$ tal que $f(x_3)\in f(A)$, entonces $f$ no sería inyectable porque $f(x_3)\in f(A)$, exactamente porque se encuentra en $f(A)$, tendría que corresponder a algunos $x_3\in A\subseteq X$. Entonces la inyectividad de$f$ implica que para todos $A\subseteq X$ tenemos $f^{-1}(f(A))=A$.

($\Leftarrow$). Por contradicción. Considerar$x_1\in A\subseteq X$ y $x_2\in X\setminus A$. Entonces$f(x_1)\in f(A)$ y $f(x_2)\not\in f(A)$. Tenemos eso$f^{-1}(f(A)) = A$, luego cada elemento en $f(A)$ corresponde a algún elemento en $A\subseteq X$. Considere eso$f$ no es inyectiva, es decir, el caso de que $f(x_1)=f(x_2)\in f(A)$ y $x_1\neq x_2$. Tendríamos entonces$f^{-1}(f(A))\neq A$, porque $x_2\not\in A$. Entonces,$f$ es inyectable.

Ahora a la prueba principal.

Prueba . Prueba directa de que$f$ es inyectable $\iff f(\bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda) = \bigcap_{\lambda \in L} f(A_\lambda)$.

\ begin {align *} f (x) \ in f (\ bigcap _ {\ lambda \ in L} A_ \ lambda) & \ iff x \ in f ^ {- 1} (f (\ bigcap _ {\ lambda \ in L } A_ \ lambda)) \\ & \ iff x \ in \ bigcap _ {\ lambda \ in L} A_ \ lambda \ \ text {porque $f$ es inyectivo} \\ & \ iff x \ in A_ \ lambda, \ text {para todos} \ \ lambda \ in L \\ & \ iff f (x) \ in f (A_ \ lambda), \ text {para todos } \ \ lambda \ en L \\ & \ iff f (x) \ in \ bigcap _ {\ lambda \ in L} f (A_ \ lambda) \ end {align *}

¿Puedo hacer esto?

No podría mostrar eso si $f(\bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda) = \bigcap_{\lambda \in L} f(A_\lambda)$ entonces $f$ es inyectivo sin utilizar el hecho de que $f(\bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda) = \bigcap_{\lambda \in L} f(A_\lambda)$ solo se mantiene si y solo si $f^{-1}(f(\bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda)) = \bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda$, y esto solo es cierto si y solo si $f$ es inyectable.

Answer 1

Es posible un argumento mucho más simple. Es fácil ver que siempre es cierto que

$$f\left[\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\right]\subseteq\bigcap_{\lambda\in\Lambda}f[A_\lambda]$$

para cualquier familia $\{A_\lambda:\lambda\in\Lambda\}$ de subconjuntos de $X$. Suponer que$f$ es inyectable y deja $x\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}f[A_\lambda]$. Entonces para cada$\lambda\in\Lambda$ hay un $a_\lambda\in A_\lambda$ tal que $x=f(a_\lambda)$. Reparar$\lambda_0\in\Lambda$; ya que$f$ es inyectable, $a_\lambda=a_{\lambda_0}$ para cada $\lambda\in\Lambda$, entonces $a_{\lambda_0}\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda$y $x=f(a_{\lambda_0})\in f\left[\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\right]$. Así,

$$\bigcap_{\lambda\in\Lambda}f[A_\lambda]\subseteq f\left[\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\right]$$

y por lo tanto

$$f\left[\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\right]=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}f[A_\lambda]\,.$$

Ahora suponga que $f$no es inyectable. Entonces hay$x,y\in X$ tal que $x\ne y$y $f(x)=f(y)$. Dejar$A_0=\{x\}$ y $A_1=\{y\}$; entonces

$$\varnothing=f[\varnothing]=f[A_0\cap A_1]\subsetneqq f[A_0]\cap f[A_1]=\{f(x)\}\,.$$