Pruebalo $Nullity(AB)=Nullity(B)$ y $Range(AB)=Range(B)$

Question

Sea el campo $K=\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$. $A \in K^{m\times n}$ es una matriz asociada a una transformación lineal $A: K^n\rightarrow K^m$, dónde $m,n \in Z_{+}$. Definimos:

\begin{align*} \operatorname{nullity} (A)=\dim (\ker A)&= \dim\left(\left \{ x \in K^n : Ax=0\right \}\right), \left \{ x \in K^n : Ax=0\right \} \subset K^n \\ \operatorname{range} (A)=\dim (\operatorname{Im}(A))&= \dim\left \{ y \in K^m, \exists x \in K^n : y=Ax \right \},\left \{\forall y \in K^m, \exists x \in K^n : y=Ax \right \} \subset K^m \end{align*}

1. Si $A\in K^{n\times n}$ es una matriz invertible, demuestre que $AB$ tiene la misma nulidad y rango que B, para cualquier matriz $B \in K^{n\times m}$
2. Si $m=n$, que es la relación entre los valores propios y los vectores propios de las matrices $AB$ y $BA$.

Lo que hice por 1 es esto:

\begin{align*} ABx=0 \iff& Bx=0 \text{ since, } A \text{ is invertible}\\ \iff& x\in \operatorname{ker}(B) \ \ \forall x \in \operatorname{ker}(B)\\ \\ \Rightarrow \operatorname{nullity}(AB)=&\dim(\operatorname{ker} (AB))=\dim(ker(B)) =\operatorname{nullity}(B) \end{align*}

Por otro lado tenemos eso,

\begin{align*} \dim(K^m)=&\operatorname{nullity}(AB)+\operatorname{range}(AB)\\ \dim(K^m)=&\operatorname{nullity}(B)+\operatorname{range}(B) \end{align*}

Y también, \begin{align*} \dim(AB)=\dim(B) \ \ \ \ \ &\ \ \ \ \ \ \operatorname{nullity}(AB)=\operatorname{nullity}(B)\\ \\ \Rightarrow \operatorname{range}(AB)&=\operatorname{range}(B) \end{align*}

¿Estoy en lo correcto? ¿O qué estoy haciendo mal?

Y para 2 no estoy seguro de cuál es la relación entre los autovalores y los autovectores de las matrices AB y BA.

¡Realmente agradecería su ayuda!

Answer 1

Los argumentos para (1) son correctos (en su mayoría: elimine el $b$ en $bBx=0$y reemplazar $\dim(B)$ por $\dim(K^m)$.)

Para (2), suponga $ABv=\lambda v$, ($v\ne0$). Entonces$$BA(Bv)=B(ABv)=\lambda Bv$$ entonces $Bv$ es un vector propio de $BA$ con valor propio $\lambda$, a menos que $Bv=0$ (es decir, $\lambda=0$).
Por el contrario, si$BAw=\mu w$ entonces $Aw$ es un vector propio de $AB$, a no ser que $Aw=0$.

Conclusión: los valores propios de $AB$ son los mismos que los de $BA$, excepto posiblemente por los valores propios cero (no puedo decir en ese caso).