Pseudoinversa de una matriz diagonal
Dejar matriz$A \in \Bbb R^{n \times n}$tener$k$elementos diagonales, donde$k < n$, y el resto de los elementos son cero. Estoy tratando de encontrar el pseudoinverso de$A + \lambda I$cuando$\lambda$se aproxima a cero.
Después$\frac{1}{a_i + \lambda}$serían los elementos diagonales para$i$pasando de 1 a$k$de la pseudo inversa y$\frac{1}{\lambda}$serían el resto de los elementos de la diagonal. si pongo$\lambda$igual a cero entonces la pseudo inversa sería una matriz con elementos de$A$matriz invertida, pero habría elementos que irían al infinito. Pero eso no suena bien. ¿Qué hay de malo en esta lógica?
Respuestas
El problema es que el pseudo inverso no es una función continua en el espacio de matrices como lo has mostrado exactamente. Considere la matriz 1d$(x)$por$x\in\mathbb R$. Entonces el mapa pseudo-inverso es$$ (x)\mapsto\begin{cases}1/x&\text{ if }x\neq 0,\\0&\text{ otherwise.} \end{cases} $$Esto no es un continuo en cero, por lo que no esperaríamos que conserve un límite de un elemento en cero. Lo mismo sucede con su ejemplo cuando restringimos al kernel de$A$.