¿Qué son los estados mágicos?

Question

Me pregunto qué son los estados mágicos y un dispositivo de estado mágico . Mientras leo un artículo, estos términos aparecen con frecuencia.

Answer 1

Los estados mágicos son ciertos estados que tienen propiedades muy buenas con respecto al cálculo cuántico tolerante a fallas.

En el vasto paisaje de las puertas cuánticas, se puede hacer una distinción burda pero útil entre las puertas de Clifford y todas las demás puertas (también conocidas como las puertas inspiradas que no son de Clifford ). El conjunto de puertas de Clifford es en términos técnicos el normalizador del grupo Pauli, lo que básicamente significa que es el conjunto de operaciones que mapean el conjunto de estados propios de Pauli con el conjunto de estados propios de Pauli, ya que los operadores de Pauli y sus estados propios son muy importantes en computación cuántica, también nos preocupan profundamente las puertas de Clifford.

Otra razón por la que nos preocupan las puertas de Clifford es el hecho (en el ámbito de la corrección de errores cuánticos (específicamente los códigos de estabilizador ) y la tolerancia a fallas) de que todas las operaciones de Clifford en los códigos de estabilizadores se pueden implementar transversalmente , lo cual es una cierta forma de implementar (lógica ) operaciones en códigos que son más o menos "la forma más fácil" de tolerancia a fallos, lo que los hace muy deseables.

Desafortunadamente, es imposible (como se muestra aquí) tener un conjunto de puertas universal completo de operaciones con solo implementaciones transversales, lo que significa que al menos una operación en el conjunto de puertas universales debe implementarse de manera diferente. Como suele ser (pero no necesariamente) la elección, el conjunto de operaciones de Clifford (o más bien, un grupo electrógeno) se elige como puertas transversales, y otra puerta (que no sea de Clifford) se implementa de manera diferente.

Implementar estas puertas que no son de Clifford de manera tolerante a fallas es muy difícil y costoso; existen algunos métodos que son tolerantes a fallas en el papel, pero carecen de implementabilidad de una forma u otra. Los estados mágicos son una forma de eludir la necesidad de puertas que no son de Clifford al preparar ciertos estados que "codifican" la acción que no es de Clifford en el estado. Intuitivamente, puede pensar en esto como aplicar todas las puertas necesarias que no sean de Clifford en un cálculo por adelantado, lo que da como resultado los estados mágicos; el resto del cálculo se puede realizar utilizando solo puertas Clifford, lo que hace que la implementación tolerante a fallas se pueda contener.

Sin una referencia, no puedo estar completamente seguro de qué se entiende por "dispositivo de estado mágico", pero creo que los autores se refieren a un dispositivo que realizaría una destilación de estado mágico . Tal procedimiento produce estados mágicos puros a partir de estados mágicos ruidosos; se demostró que esto se puede realizar de una manera razonablemente escalable y, además, de una manera tolerante a fallas. Esto da un plano de una computadora cuántica tolerante a fallas con solo puertas Clifford (y el dispositivo de destilación de estado mágico).

Tenga en cuenta que se necesitan muchos estados mágicos para realizar cálculos; los diseños de computadoras cuánticas con estados mágicos probablemente tendrán la gran mayoría de sus qubits utilizables para la destilación de estados mágicos; el cálculo real será casi 'una ocurrencia tardía' .

Como nota final, es muy posible que en algún momento lo único que nos importe en los recursos de computación cuántica sea la destilación de estados mágicos. Por supuesto, esto es una simplificación excesiva, pero lo uso para enfatizar la posible importancia de estos estados.

Answer 2

Además de la respuesta aceptada y los ejemplos de @ user1271772, aquí hay una primitiva de circuito al que se hace referencia explícitamente como "gadget de puerta T" en [1] (que aparece originalmente en [2]):

donde la aplicación de la $S$La puerta está condicionada a medir un "1" en el ancilla. La forma en que esto funciona es, para$|A\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle + e^{i\pi/4} |1\rangle)$, un estado de entrada $| \psi \rangle = a|0\rangle + b|1\rangle$ que viene de la izquierda se transforma como:

$$ (a|0\rangle + b|1\rangle)(|0\rangle + e^{i\pi/4} |1\rangle) \rightarrow a|00 \rangle + a e^{i\pi/4} |01 \rangle + b|11\rangle + b e^{i\pi/4}|10 \rangle \\ = (a|0 \rangle + b e^{i\pi/4} |1\rangle )|0\rangle + (a e^{i\pi/4} |0\rangle + b|1\rangle)|1\rangle $$

Si la ancilla se mide como "0", el estado de entrada se proyecta en $(a|0 \rangle + b e^{i\pi/4} |1\rangle ) = T|\psi\rangle$y la puerta tiene éxito. Si la ancilla se mide como "1", aplica un$S$ puerta en el registro de entrada para obtener

$$ S(a e^{i\pi/4} |0\rangle + b|1\rangle) = (a e^{i\pi/4} |0\rangle + e^{i\pi/2} b|1\rangle) = e^{i\pi/4} (a |0\rangle + e^{i\pi/4} b|1\rangle) = e^{i\pi/4} T |\psi \rangle $$

que recupera lo deseado $T$ puerta hasta una fase global.

Este proceso cae bajo el paraguas de la teletransportación de puertas (basado en la teletransportación cuántica normal) y básicamente le permite aplicar puertas que no sean clifford si tiene acceso a estados que contienen la información esencial sobre la puerta que desea aplicar, por ejemplo, $|A\rangle = T\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$ contiene los efectos de la $T$ puerta que queremos aplicar.

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[1] Bravyi, S. y Gosset, D. (2016). Simulación clásica mejorada de circuitos cuánticos dominados por puertas de Clifford. Cartas de revisión física, 116 (25), 250501.

[2] Zhou, X., Leung, DW y Chuang, IL (2000). Metodología para la construcción de puertas lógicas cuánticas. Revisión física A, 62 (5), 052316.

Answer 3

Considere una computadora cuántica que puede:

• Preparar qubits en estado $|0\rangle$
• Aplicar puertas unitarias del grupo Clifford
• Mida qubits en el $X$, $Y$, y $Z$ bases

Esto parece ideal porque:

• Sabemos cómo implementar las tres funcionalidades con bastante facilidad (en comparación con puertas o medidas más complicadas)
• Podemos diseñar algoritmos para una computadora cuántica de este tipo con bastante facilidad, ya que todas las puertas y medidas son operaciones bastante fundamentales que todos los que trabajan con información cuántica conocen y comprenden.

Pero, ¡la computadora cuántica anterior no es universal!

Sin embargo, solo necesita una funcionalidad más para hacer que la computadora cuántica anterior sea universal:

• Ser capaz de preparar un estado mágico.

Ejemplos de estados mágicos son (aquí doy $H$-tipo y $T$-tipo de estados mágicos):

\begin{align} |H\rangle &\equiv \cos(\frac{\pi}{8})|0\rangle + \sin(\frac{\pi}{8})|1\rangle,\tag{1} \\ |T\rangle &\equiv\cos(\beta)|0\rangle + e^{i\pi/4}\sin(\beta)|1\rangle, \beta\equiv\frac{1}{2}\arccos(\frac{1}{\sqrt{3}}).\tag{2} \end{align}

El ejemplo anterior no es único. De hecho, para fabricar cualquier computadora cuántica universal , es necesario poder preparar al menos un estado mágico.

El término "estado mágico" fue introducido en 2004 por Bravyi y Kitaev .