Regresión con forma funcional flexible

Question

Estoy asumiendo un modelo de la forma

$$Y_i=\alpha+\beta X_i+g(\mathbf{Z}_i)+\epsilon_i,$$

Aquí $\mathbf{Z}_i$ es un $m$ vector dimensional y $\epsilon_i$es iid ruido blanco. Me gustaría establecer si$\beta$ es estadísticamente significativo según mis datos sin adoptar una postura firme en la forma de $g$. ¿Qué tipo de métodos se suelen aplicar para este tipo de problemas?

Answer 1

Esto suena como un gran trabajo para los GAM a través del mgcvpaquete. Utilice una spline de suavizado penalizada para estimar$g$ y añadir un efecto aditivo de $X$. El modelo se vería así gam(y ~ x + s(z).

library(mgcv)
#> Loading required package: nlme
#> This is mgcv 1.8-31. For overview type 'help("mgcv-package")'.


z = rnorm(1000)
x = rnorm(1000)
y = 2 + 0.25*x + sin(pi*z) + rnorm(1000, 0, 0.3)
d = data.frame(x, y, z)

model = gam(y ~ x + s(z), data = d)

summary(model)
#> 
#> Family: gaussian 
#> Link function: identity 
#> 
#> Formula:
#> y ~ x + s(z)
#> 
#> Parametric coefficients:
#>             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
#> (Intercept) 1.968566   0.009514  206.91   <2e-16 ***
#> x           0.262245   0.009888   26.52   <2e-16 ***
#> ---
#> Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
#> 
#> Approximate significance of smooth terms:
#>        edf Ref.df     F p-value    
#> s(z) 8.977      9 625.1  <2e-16 ***
#> ---
#> Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
#> 
#> R-sq.(adj) =  0.865   Deviance explained = 86.6%
#> GCV = 0.091407  Scale est. = 0.090404  n = 1000

^{Creado el 20/10/2020 por el paquete reprex (v0.3.0)}

Answer 2

Este modelo es un modelo de regresión parcialmente lineal y, en su caso, $g(Z)$es un parámetro molesto. Consulte la página 62 de este enlace para obtener una introducción al tema. De especial interés en la aplicación es la Transformación de Robinson (Sección 7.7 en la página 62 del archivo vinculado).

La inferencia es particularmente complicada en estos entornos, ya que es difícil decir algo sobre las asintóticas de $g(Z)$en un sentido general, por lo que normalmente debe asumir que se encuentra en algún espacio. Chernozhukov et al. Propusieron un enfoque reciente muy general de la inferencia . (2017) si es de interés.