Resolver desigualdad cuadrática $x^2 > 0$

Question

Esta desigualdad en particular me tiene desconcertado: $$ x^2 > 0 $$

Gráficamente es sencillo de resolver, ya que se puede ver la curva solo toca $0$ pero se extiende en direcciones negativas y positivas como se muestra aquí:

Sin embargo, no puedo expresar en un cálculo cómo puedo llegar a $$x > 0 \lor x < 0. $$

Por ejemplo, si intentas resolver la desigualdad encontrando la raíz cuadrada en cualquier lado, terminas con: $$ x > \pm\sqrt{0} $$Dado que cero no es ni positivo ni negativo, esto no tiene mucho sentido para mí. ¿O hay una forma diferente de interpretar esto?

Gracias

Answer 1

Precaución,

$$a^2>b$$ No implica $$a>\pm\sqrt b.$$

Pero $$\pm a>\sqrt b$$es correcto. (Con una notación algo descuidada).

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Más rigurosamente

$$a^2>b\\\iff (a-\sqrt b)(a+\sqrt b)>0\\\iff (a>\sqrt b\land a>-\sqrt b)\lor (a<\sqrt b\land a<-\sqrt b)\\\iff a>\sqrt b\lor a<-\sqrt b.$$

Answer 2

Tenemos eso

• para $x=0 \implies x^2=0$

• para $x \neq 0 \implies x^2>0$

y la prueba está completa por agotamiento .

Siguiendo tu idea, usando eso $\sqrt{x^2}= |x|$, podemos sacar la raíz cuadrada de ambos lados para obtener

$$x^2>0 \iff \sqrt{x^2}>\sqrt 0 \iff |x|>0$$

que siempre es cierto para $x\neq 0$.

Answer 3

Cuando aplicó la raíz cuadrada en cada lado, no debería haber "cancelado" la raíz cuadrada con la potencia cuadrada.

Creo que estás acostumbrado a hacer algo como esto: $x^2=a$ luego $x=\pm\sqrt a$, que está bien, pero no funciona con desigualdades. En cambio, debería pensarlo más así: si$x^2=a$ luego $|x|=+\sqrt a$, que también trabaja con desigualdades.

Por ejemplo: si $x^2=4$ normalmente decimos sencillo $x=\pm2$, pero podrías hacer un paso intermedio, que es $|x|=2$, y luego piense que el valor absoluto simplemente elimina el signo menos, por lo que sus soluciones pueden ser $x=\pm2$.

Esta es la forma en que debes hacer la desigualdad: si $x^2>0$ luego $|x|>0$, para que puedas tener $x>0$ o $x<0$, ya que el valor absoluto eliminará el signo menos.

Answer 4

$$x^2=0\iff x=0.$$ Por lo tanto

$$x^2>0\iff x\ne0.$$

Answer 5

Como regla general, he descubierto lo siguiente:

$$\mathrm{For\:}u^n\:>\:0\mathrm{,\:if\:}n\:\mathrm{is\:even}\mathrm{\:then\:}u\:<\:0\quad \mathrm{or}\quad \:u\:>\:0$$

Cortesía de Symbolab. https://www.symbolab.com/solver/inequalities-calculator/x%5E%7B2%7D%3E0