Sobre contar con simetría

Question

Un comité del Senado ha $5$ Demócratas y $5$Republicanos. ¿De cuántas formas pueden sentarse alrededor de una mesa circular si todos los miembros de cada grupo se sientan uno al lado del otro? Dos arreglos de asientos se consideran iguales si, para cada persona, a su izquierda es el mismo en ambos arreglos.

Mi acercamiento:

Podemos organizar cada grupo en $5!$formas. Podemos organizar el grupo como un todo en$2!$ formas es decir $RD$ y $DR$. Sé que parece ser el mismo debido a la disposición circular. Sin embargo, quiero sobrecontar las simetrías tanto como sea posible para que podamos dividir de una vez. Esto nos lleva a$5!\times 5!\times 2$. Ahora cada arreglo se cuenta en exceso$10$ veces$10$rotaciones). Esto lleva a mi respuesta$\dfrac{5!\times 5!\times 2}{10}$. Creo que esto está mal porque por un simple caso de$2$ Demócratas y $2$ Republicanos, este enfoque conduce a $2$preparativos. Pero, se puede verificar fácilmente que hay$4$posibles arreglos. ¿Puede alguien ayudarme a descubrir el error y la respuesta correcta?

Answer 1

Dado que cada arreglo está completamente determinado por el orden de cada parte dentro de su bloque, $5!\cdot5!$ya cuenta cada arreglo exactamente una vez. Ese mismo arreglo puede ocurrir en cualquiera de$10$ posiciones alrededor de la mesa, por lo que si realmente desea contar en exceso y luego deshacerse del conteo excesivo, debe tener $10\cdot5!\cdot5!$arreglos que se distinguen no solo por el orden de las personas alrededor de la mesa sino por su posición absoluta en la mesa. Entonces lo dividirías por$10$ tener en cuenta el hecho de que los arreglos rotacionalmente equivalentes no se distinguen, por lo que obtendría $\frac{10\cdot5!\cdot5!}{10}$ preparativos.