Sobre la finitud del límite de las sumas
Dejar $U$ ser un dominio en $\mathbb{C}^n$. Dejar$\alpha:U\times U\longrightarrow [0,\infty)$ ser una función continua con la propiedad de que $\alpha(z,w)=\alpha(w,z)$ para todos $z,w\in U$ y $\alpha(z,w)\leq \alpha(z,v)+ \alpha(v,z)$ para todos $z,w,v\in U$.
Se nos da un camino suave por partes $\gamma:[a,b]\longrightarrow U$. Dónde$\gamma(a)=z$ y $\gamma(b)=w$. Tomar una partición$a=x_0\leq x_1 \leq x_2\cdots\leq x_n=b$. Luego elija particiones cada vez más finas que satisfagan$\sup_{1\leq i\leq n} x_i-x_{i-1}=\Delta\longrightarrow 0$.
Ahora define $L_\alpha(\gamma)=\lim_{\Delta\longrightarrow 0} \sum_{i=1}^{n}\alpha(\gamma(x_i),\gamma(x_{i-1}))$.
Se dice por la continuidad de $\gamma$, $L_\alpha$está bien definido. Sé que para cada partición finita, la suma es finita, pero ¿por qué el límite será finito?
Respuestas
El límite puede ser infinito incluso cuando $\gamma$es el mapa de identidad. De hecho, deja$n=1$, $U=\{z\in \Bbb C:|z|\le 1\}$y $\alpha(z,w)=\sqrt{|z-w|}$ para todos $z,w\in U$. Dejar$a=-1$, $b=1$ y $\gamma(x)=x$ para cada $x\in [-1,1]$. Dado$n$, para cada $i\in\{0,1,\dots,n\}$ poner $x_i=2i/n-1$. Entonces$\sum_{i=1}^{n}\alpha(\gamma(x_i),\gamma(x_{i-1}))=\sqrt{2n},$ que tiende al infinito cuando $n$ tiende al infinito.