suma directa de subespacios finitos vectoriales

Question

Necesito demostrar que esto es cierto:

Dejar $V$ ser un espacio vectorial y $W_{1},W_{2},...,W_{n}$ subespacios vectoriales de $V$ luego.

$W_{1}+W_{2}+...+W_{n}$ es una suma directa $\Leftrightarrow$ la única forma de escribir $\vec{0}_{v}=\vec{x}_{1}+\vec{x}_{2}+...+\vec{x}_{n}$ dónde $\vec{x}_{i}\in W_{i}$ y $\vec{x}_{i}=\vec{0}_{v}$

Probé esto para la primera parte:

$\vec{0}_{v}\in V \hspace{1cm}$ y $\hspace{1cm} V=W_{1}\oplus W_{2}\oplus ... \oplus W_{n} \implies \exists!x_{i}\in W_{i}\hspace{0.2cm}$ tal que $\vec{0}_{v}=\vec{x}_{1}+\vec{x}_{2}+...+\vec{x}_{n}$

además:

$\vec{0}_{v}=\vec{0}_{v}+\vec{0}_{v}+...+\vec{0}_{v}\hspace{0.2cm}\land\hspace{0.2cm}\vec{0}_{v}\in W_{i} \hspace{1cm}$

luego:

$\vec{0}_{v}=\vec{0}_{v}+\vec{0}_{v}+...+\vec{0}_{v}\hspace{0.2cm}\land\hspace{0.2cm}\exists!x_{i}\in W_{i}\hspace{0.2cm}$tal que $\hspace{0.2cm}\vec{0}_{v}=\vec{x}_{1}+\vec{x}_{2}+...+\vec{x}_{n} \implies \vec{0}_{v}=\vec{x}_{i}\hspace{0.2cm}\forall\vec{x}_{i}\in W_{i}$

$\therefore V=W_{1}\oplus W_{2}\oplus ... \oplus W_{n} \implies \vec{0}_{v}=\vec{x}_{i}\hspace{0.2cm}\forall\vec{x}_{i}\in W_{i}$

(Creo que esto puede estar mal)

Me quedé atascado en la segunda parte, ni siquiera sé cómo empezar.

Answer 1

$\Leftarrow$ parte:

Suponga que hay un vector $v\in W_1+W_2+\cdots+W_n$ que se puede escribir como $$v=w_1+w_2+\cdots+w_n=w_1'+w_2'+\cdots+w_n',\ \text{with}\ w_i,w_i'\in W_i$$ Luego $$\vec{0}=(w_1-w_1')+(w_2-w_2')+\cdots+(w_n-w_n')$$ Ahora $w_i,w_i'\in W_i$ implica que $w_i-w_i'\in W_i$ como $W_i$es un espacio vectorial. Ahora por nuestra suposición$w_i-w_i'=\vec{0}$o $w_i=w_i'$.

Así, cada vector $v\in W_1+ W_2+\cdots+W_n$ se puede expresar de forma única como $v=w_1+w_2+\cdots+w_n$ con $w_i\in W_i$. Pero esto implica que la suma$W_1+W_2+\cdots+W_n$ es de hecho directo.