Topológicamente equivalente

Question

¿Es posible tener métricas topológicamente equivalentes con diferentes secuencias de Cauchy? ¿Hay ejemplos reales? ¿O suelen producir las mismas secuencias de Cauchy?

Answer 1

En $\Bbb R$, la métrica $d(x,y)=|\arctan x-\arctan y|$ define la misma topología en $\Bbb R$como la métrica estándar. Debajo$d$, la secuencia dada por $x_n=n$ es Cauchy, pero por supuesto no bajo la métrica estándar.