Transformación de operadores observables
En el libro de Ballentine sobre QM en el Capítulo 3, afirma que si un vector de estado se transforma, hay una transformación correspondiente en los operadores asociados con observables. En matemáticas, si$$ |\mathbf{\psi'}\rangle = U|\mathbf{\psi}\rangle$$
y
$$ A |\mathbf{\psi} \rangle = a_n |\mathbf{\psi} \rangle $$
Entonces debe haber un observable transformado con.
$$ A' | \mathbf{\psi'} \rangle = a_n |\mathbf{\psi'} \rangle $$
Lo que implica que
$$ A' = UAU^{-1} $$
Sin embargo, no estoy siguiendo del todo la justificación de la afirmación de que los valores propios deben ser los mismos anteriores. Me confunde la visión activa y pasiva de las transformaciones y cómo se aplica aquí. Ballentine dice que está usando el punto de vista activo. Entonces, un vector de estado,$|\mathbf{\psi} \rangle$, se mueve a una nueva ubicación en el mismo sistema de coordenadas.
¿Por qué también transformamos los observables de modo que lo siguiente sea cierto? $$ A' | \mathbf{\psi'} \rangle = a_n |\mathbf{\psi'} \rangle $$
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Según los comentarios a continuación, existe cierta confusión sobre mis preguntas exactas. Entiendo que si te transformas$A$ como
$$ A' = UAU^{-1} $$
Que obtendrás
$$ A' | \mathbf{\psi'} \rangle = a_n |\mathbf{\psi'} \rangle $$
Mi pregunta es por qué no estamos usando el mismo operador A en el vector de estado transformado, $|\psi \rangle$?
Respuestas
Primero permíteme mostrarte lo que realmente está sucediendo aquí, tu problema se cortará automáticamente. Hablaré en términos de transformación 2D para que sea fácil de visualizar.
$$|\psi'\rangle=U|\psi\rangle$$
Lo siguiente dice que cuando aplicas una transformación en algún vector, obtienes un nuevo vector (para vista visual ). El siguiente es$$A|\psi\rangle=a_n|\psi\rangle$$ Esto sugiere que un vector $|\psi\rangle$ es un vector propio de $A$ eso significa que después de la transformación solo se escala por un factor.
Ahora la pregunta que queremos hacer es esta: Si aplico una transformación $U$ en todo el espacio para que cada vector se transforme y también $|\psi\rangle$ que es un vector propio de $A$, ¿Cuál será una nueva transformación? $A'$ para cual $|\psi\rangle$ será el vector propio?
Mi pregunta es por qué no estamos usando el mismo operador A en el vector de estado transformado, $|ψ⟩$?
La razón es simple porque transformado $|\psi\rangle$ ya no es vector propio para $A$. Pero quiero darle un poco más de sentido .. así que llévate bien conmigo.
Volvamos a nuestra cuestión de interés. Ahora, para simplificar, podemos pensar en$U$como rotación. La idea es que después de la transformación (rotación) cada vector que está en la dirección de$|\psi\rangle$debe estar en la misma línea después de la transformación. Por ejemplo, después de una rotación de 90 grados$\hat{i}$ y $2\hat{i}$ permanecerá paralelo.
Por tanto, sospechamos que todo vector propio de $A$debe estar en la misma línea después de la transformación. Ahora para encontrar dicha matriz: primero invertimos el efecto de rotación mediante una matriz inversa. Para que volvamos a nuestro estado original$U^{-1}U|\psi\rangle$. El siguiente paso es utilizar el hecho de que conocemos la transformación para la que este es vector propio y, por lo tanto,$AU^{-1}U|\psi\rangle$. Ahora aplicaremos de nuevo nuestra transformación para revertir el efecto.$UAU^{-1}U|\psi\rangle$.
En la imagen activa, esto no decía nada, pero después de la transformación, el vector propio se encuentra en la misma línea.
Pero hay algo muy bueno en la imagen pasiva. Eso es lo que tienes que encontrar Como nota breve:
$$U^{-1}A'U$$
Esto sugiere una falta de empatía matemática. Eso es cambiar de perspectiva. La matriz$U$es lo que el cambio es prespectivo. Si no lo consiguió, aquí .
Creo que ahora lo entiendo. Diré que creo que la descripción del libro es confusa.
Básicamente, lo que Ballentine está diciendo es que las leyes de los físicos son invariables bajo las transformaciones galileanas.
En otras palabras, si tenemos algún vector de estado, $|\psi\rangle$, y realizamos una transformación del espacio-tiempo a otro marco de referencia, entonces las leyes de la física deberían ser las mismas.
Entonces, por ejemplo, si realizamos una traducción,
$$|\psi'\rangle = e^{-i\mathbf{a}\cdot \mathbf{P}/\hbar}|\psi\rangle $$
Luego, para cada Observable, debería haber una manera de traducirlos también, de modo que si un observador también fuera traducido, observaría las mismas cosas que en el sistema no traducido. Si observa el vector propio de un observable, esto significa que para,
$$ A|\phi_n\rangle = a_n |\phi_n\rangle$$ $$ A'|\phi'_n\rangle = a_n |\phi'_n\rangle$$
En otras palabras, existe una A 'tal que para ese sistema traducido se observa lo mismo que el sistema no traducido, con
$$ A' = U A U^{-1} $$
Para el caso de la posición, esto termina con, $$Q' = Q-\mathbf{a}\cdot I$$
O en otras palabras, el observador traducido terminará restando $\mathbf{a}$ desde las posiciones que registran.
La presentación de todo esto me parece un poco confusa. Realmente, tenemos dos observadores en dos sistemas de coordenadas diferentes. Básicamente estamos encontrando un operador$A'$ tal que para el vector de estado traducido, $\psi'\rangle = U \psi\rangle$, en nuestro sistema de coordenadas, eso nos dice cómo se verían los observables para el observador en un sistema de coordenadas trasladado.