Triángulo mayor que (probabilidad)

Question

Esta es una continuación de mi pregunta anterior. Pero un problema diferente. Y este debería tener una respuesta más interesante. Realmente no sé cómo abordar este problema, sin embargo, llego a una solución, por lo que nuevamente se agradece la ayuda.

Pregunta:

tienes un circulo con radio$R$. Si se eligen al azar tres puntos dentro de este círculo. ¿Cuál es la probabilidad de que los tres puntos formen un triángulo con un área mayor que$\displaystyle \frac{R^2}{5}$?

Editar: ¿Alguien está intentando o tal vez encontró un enfoque que podría funcionar? ¿Hay algún problema similar que haya visto antes que pueda funcionar como una guía para resolver este? ¿Cuáles considera que son las dificultades? Literalmente no tengo ni idea de por dónde empezar.

Answer 1

Esto no es una respuesta, sino solo una simulación. me sale el valor aproximado

$$P(A\geq \frac{1}{5}) \approx 0.45$$

Aquí está mi código Sage si alguien quiere verificarlo. Está de acuerdo con el valor medio de mathworld

def randPt():
    r = random()**0.5 #sqrt to make it uniform
    a = random()*2*float(pi)
    return (r*cos(a), r*sin(a))

def simuTriArea():
    a,b,c = [randPt() for _ in range(3)]
    return 0.5*abs(a[0]*b[1] + b[0]*c[1] + c[0]*a[1] - b[0]*a[1] - c[0]*b[1] - a[0]*c[1])

#points([randPt() for _ in range(1000)]).show(aspect_ratio=1)
simuN = 100000
triAreas = [simuTriArea() for _ in range(simuN)]
print ("simulated P(A>0.2): %f" % (sum(1 for a in triAreas if a>0.2) / float(simuN),) )
print ("mean A: %f" %mean(triAreas))
graph = Graphics()
graph += histogram(triAreas, density=True, bins=50)
maxArea = float(3*3**0.5 / 4)
#graph += plot(???, xmin=0, xmax=maxArea)
graph.show()