Un problema de cálculo fácil

Question

Aquí está la pregunta: encuentre el área máxima de un triángulo isósceles inscrito en la elipse $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$. Mi maestro lo resolvió considerando dos puntos arbitrarios en la elipse como vértices del triángulo, siendo$(a\cos\theta, b\sin \theta)$ y $(a\cos\theta, -b\sin \theta)$. (Digamos que$\theta$ es theta) y luego procedió con las pruebas derivadas (que entendí) Pero, no indicó lo que $\theta$fue, y declaró que estos puntos siempre se encuentran en una elipse. ¿Porque? E incluso si lo hacen, ¿cuál es la garantía de que los puntos de tal forma serán nuestros vértices requeridos? Una cosa más, le agradecería que me sugiriera otra forma de resolver este problema. ¡Gracias!

Answer 1

Si creemos en el argumento de la simetría, optimizar el área es sencillo:

$$A_1 = a b \sin \theta (1+ \cos \theta)$$

$$A_2 = a b (1+ \sin \theta) \cos \theta$$

$$0=\frac{\partial A_1}{\partial \theta}=a b [\cos\theta (1+ \cos \theta)-\sin^2 \theta] = ab [\cos^2 \theta - \sin^2 \theta + \cos \theta]$$

$$0=\frac{\partial A_2}{\partial \theta}=a b [\cos^2 \theta - \sin \theta(1+ \sin \theta)]= ab[\cos^2 \theta - \sin^2 \theta-\sin \theta]$$

Las soluciones a la primera ecuación incluyen un mínimo en $\theta=\pi$ y máximos en $\theta = \mp \frac{\pi}{3}$.

Las soluciones a la segunda ecuación incluyen un mínimo en $\theta=-\frac{\pi}{2}$ y máximos en $\theta = \frac{\pi}{6}$ y $\frac{5\pi}{6}.$

Interesante, obtenemos soluciones alineadas con el $x-$eje y el $y-$¡eje!

Ciertamente, puede resolver el problema tomando tres puntos arbitrarios en la elipse, restringiéndolos para que se encuentren en triángulos iscoceles y luego use los multiplicadores de Lagrange. Las soluciones resultarán ser las encontradas arriba.