Una pregunta sobre la regla de la cadena para derivadas parciales

Aug 20 2020

Dejar $f: \mathbb{R^2} \to \mathbb {R}$ ser una función diferenciable y considerar la función $F:\mathbb{R^3}\to \mathbb{R}, F(x, y, z)=f(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})$. Calcular$\frac{\partial F}{\partial x}$, $\frac{\partial F}{\partial y}$ y $\frac{\partial F}{\partial z}$ en términos de $f$Derivadas parciales de primer orden.
Empecé reconociendo que$F=f\circ g$, dónde $g:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R^2}, g(x, y, z)=(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})$. Vamos a denotar por$u(x,y,z):=x^2-y+2yz^2$ y $v(x,y,z)=z^3e^{xy}$ $g$componentes.
Por la regla de la cadena, sé que$$\frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial u}(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})\cdot \frac{\partial u}{\partial x}(x,y,z)+ \frac{\partial f}{\partial v}(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})\frac{\partial v}{\partial x}(x,y,z)$$ y las mismas relaciones son válidas para $\partial y$ y $\partial z$, pero no entiendo cómo / si podría simplificar más $\frac{\partial f}{\partial u}(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})$ y $\frac{\partial f}{\partial v}(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})$. Hasta donde tengo entendido, estas son las derivadas parciales de$f$ con respecto a las funciones $u$ y $v$. ¿Cómo los calculo?

Respuestas

1 Bernard Aug 20 2020 at 01:32

Para aclarar las cosas, denotar $u$ y $v$ las variables para $f$, dónde $$u=x^2-y+2yz^2,\qquad v=z^3\mathrm e^{xy}.$$

La regla de la cadena afirma que \begin{align} \frac{\partial F(x,y,z)}{\partial x}&=\frac{\partial f(u,v )}{\partial u}\biggl|_{\substack{u=x^2-y+2yz^2\\v=z^3\mathrm e^{xy}}}\!\cdot \frac{\partial u(x,y,z)}{\partial x}+\frac{\partial f(u,v)}{\partial v}\biggl|_{\substack{u=x^2-y+2yz^2\\v=z^3\mathrm e^{xy}}}\!\cdot\frac{\partial v(x,y,z)}{\partial x} \\ &=\frac{\partial f(u,v)}{\partial u}\biggr|_{\substack{u=x^2-y+2yz^2\\v=z^3\mathrm e^{xy}}}\!\cdot 2x+\frac{\partial f(u,v)}{\partial v}\biggr|_{\substack{u=x^2-y+2yz^2\\v=z^3\mathrm e^{xy}}}\!\cdot yz^3\mathrm e^{xy} \end{align} y de manera similar para las otras derivadas parciales.

1 Matematleta Aug 20 2020 at 01:34

Si usa la regla de la cadena para la derivada de $multivariate$ funciones, puede leer las $partial$derivados. Más precisamente, siguiendo su idea, tenemos

$F'(x_0,y_0,z_0)=(f\circ g)'(x_0,y_0,z_0)=f'(g(x_0,y_0,z_0))\circ g'(x_0,y_0,z_0).$

En forma de matriz,

$\begin{pmatrix} F_x(x_0,y_0,z_0) &F_y(x_0,y_0,z_0) &F_z (x_0,y_0,z_0) \end{pmatrix}=$

$\begin{pmatrix} f_x(g(x_0,y_0,z) & f_y(g(x_0,y_0,z_0) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2x_0 &2z_0^2-1 & 2y_0z_0\\ y_0z_0^3e^{x_0y_0}& x_0z_0^3e^{x_0y_0} & 3z_0^2e^{x_0y_0} \end{pmatrix}$

Ahora multiplique las matrices para leer las derivadas.