Una suma combinatoria

Question

• Alguna idea para evaluar la suma $$ \sum_{j=m}^{k}\frac{\binom{m}{2m - j\,\,}}{\binom{k}{j}} \quad\mbox{with}\quad m \leq k < 2m - 1. $$
• He encontrado la suma para $k=2m-1$. De hecho, se comprueba que$$ \sum_{j = m}^{2m - 1}\ \frac{\binom{m}{2m-j\,\,}} {\binom{2m - 1\,\,}{j}} = 2m\left(H_{2m} - H_{m}\right), $$ dónde $H_{j}$ es el $j$-ésimo número armónico.

Answer 1

Aquí el paquete Zeilberger de maxima (eche un vistazo a Petkovsek, Wilf, Zeilberger "A = B" para los detalles sangrientos) dice que su suma no es sumable por Gosper. Eso significa que no existe una forma simple cerrada para ello.

Answer 2

Por un corto tiempo, esperaba poder expresar el resultado en términos de funciones hipergeométricas pero fallé.

Si dejamos $k=m+n$, el problema se reduce a $$S_n=\sum_{j=m}^{m+n} \frac{\Gamma (j+1)\,\,\Gamma (m+n+1-j)}{\Gamma (m+n+1)} \,\binom{m}{2 m-j} $$ que puede escribir $$S_n=\frac{\Gamma(m+1)}{n!\ \Gamma(m+n+1)} P_{n}(m)$$ dónde $P_n$ es un polinomio de grado $2n$ (no parece ser factorizable para ninguna $n$).

Los primeros son $$\left( \begin{array}{cc} n & P_n \\ 0 & 1 \\ 1 & m^2+m+1 \\ 2 & m^4+2 m^3+m^2+4 \\ 3 & m^6+3 m^5-2 m^4-9 m^3+13 m^2+18 m+36 \\ 4 & m^8+4 m^7-10 m^6-44 m^5+53 m^4+184 m^3+100 m^2+576 \end{array} \right)$$

No he podido encontrar ningún patrón para los coeficientes [excepto que el término constante es $(n!)^2$ y que el coeficiente de $m^{2n}$ es $1$ (!!)].

Lo único que observé es que, si $n$ es par, el término es $m$ falta sistemáticamente.

Sin ninguna prueba de ello, no creo que pueda existir una forma cerrada para un $n$.