Uso de argumentos de simetría
Estoy tratando de resolver el problema $$\int d^3x\,e^{i{\bf a}\cdot{\bf x}}e^{-br^2}$$usando argumentos de simetría. ¿Alguien podría dirigirme a una pregunta similar o guiarme a través de un problema similar para que pueda aprender el método para resolver problemas como este?
editar: Estos son los pasos que he tomado: $$\int d^3x\,e^{i{\bf a}\cdot{\bf x}}e^{-br^2}$$ $$\int_V r^2\sin\theta\, e^{iar\sin^2\theta\cos^2\phi}e^{-br^2}dr\,d\theta\, d\phi,$$ y creo que puedo argumentar que $\theta = \pi /2$ y $\phi = 0$, pero no sé si eso afectará a la integral ni cómo.
edición 2:
Después de recibir el consejo de Daniel y Cosmas, ahora veo por qué las coordenadas esféricas no son el movimiento correcto. Siguiendo los pasos detallados por Cosmas,$$\int_0^ze^{iaz-bz^2}dz\int_0^xe^{-bx^2}dx\int_0^ye^{-by^2}dy$$ $$= \int_0^ze^{iaz-bz^2}dz\left( \frac{\pi}{4b}erf(\sqrt{b}x)erf(\sqrt{b}y)\right)$$ $$=\left( \frac{\sqrt{\pi}e^{-\frac{a^2}{4b}}erf(\sqrt{b}z-\frac{ia}{2\sqrt{b}})}{2\sqrt{b}} \right)\left( \frac{\pi}{4b}erf(\sqrt{b}x)erf(\sqrt{b}y)\right),$$
que supongo que resolvería aún más si tuviera más información sobre los valores de x, y y z, ya que las funciones de error de valor pequeño y valor grande tienen expansiones diferentes. Cosmas recomendó eliminar el término b inmediatamente, pero lo hice en partes usando sustitución de u.
Respuestas
Este es el producto de las transformadas de Fourier de tres gaussianos. Pero, por supuesto, con una simetría sustancial, por lo que sería un desperdicio realizar los tres.
Primero, redefiniendo $\sqrt{b} ~{\mathbf x}\mapsto {\mathbf x}$, escala b fuera del problema,$$\int d^3x\,e^{i{\bf a}\cdot{\bf x}}e^{-br^2}= b^{-3/2} \int d^3x\,e^{i{{\bf a}\over \sqrt{b}}\cdot{\bf x}}e^{-r^2}.$$
A continuación, observe que, dado que se integra en todas las direcciones, puede elegir que su eje z esté en la dirección de a , es decir${\mathbf a}= a\hat {\mathbf z} $, $$ b^{-3/2} \int d^3x\,e^{i{{\bf a}\over \sqrt{b}}\cdot{\bf x}}e^{-r^2}= b^{-3/2} \int\!\! dz~ e^{i{ a\over \sqrt{b}} z}e^{-z^2}\int\!\! dx dy ~~e^{-x^2-y^2}.$$
Entonces tienes dos gaussianos y la transformada de Fourier de un gaussiano, que también es un gaussiano con su ancho relacionado inversamente con el ancho original. Puede terminar.
$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ $\ds{\bbox[5px,#ffd]{\int\dd^{3}x\,\expo{\ic{\bf a}\cdot{\bf x}} \expo{-br^{2}}}:\ {\Large ?}}$.
\begin{align} &\bbox[5px,#ffd]{\int\dd^{3}x\,\expo{\ic{\bf a}\cdot{\bf x}} \expo{-br^{2}}} = \int_{0}^{\infty}\expo{-br^{2}} \pars{\int_{\Omega}\expo{\ic{\bf a}\cdot{\bf x}}{\dd\Omega \over 4\pi}} 4\pi r^{2}\,\dd r \\[5mm] = &\ \int_{0}^{\infty}\expo{-br^{2}} \bracks{\sin\pars{ar} \over ar}4\pi r^{2}\,\dd r \,\,\,\stackrel{\large ar\ \mapsto\ r}{=}\,\,\, \left.{2\pi \over a^{3}}\int_{-\infty}^{\infty}\expo{-\mu r^{2}} \bracks{\sin\pars{r} \over r}r^{2}\,\dd r \,\right\vert_{\large\ \mu\ \equiv\ b/a^{2}}\label{1}\tag{1} \\[5mm] = &\ {2\pi \over a^{3}}\int_{0}^{\infty}\expo{-\mu r^{2}} \bracks{{1 \over 2}\int_{-1}^{1}\expo{\ic kr}\dd k}r^{2}\,\dd r \\[5mm] = &\ {\pi \over a^{3}}\int_{-1}^{1}\int_{-\infty}^{\infty} \exp\pars{-\mu\bracks{r - {k \over 2\mu}\,\ic}^{2} - {k^{2} \over 4\mu}} r^{2}\,\dd r\,\dd k \\[5mm] = &\ {\pi \over a^{3}}\int_{-1}^{1}\exp\pars{-\,{k^{2} \over 4\mu}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\pars{-\mu r^{2}} \pars{r^{2} + {k \over \mu}\,r\,\ic - {k^{2} \over 4\mu^{2}}}\,\dd r\,\dd k \\[5mm] = &\ {\pi \over a^{3}}\int_{-1}^{1}\exp\pars{-\,{k^{2} \over 4\mu}} \bracks{% \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}\exp\pars{-\mu r^{2}}r^{2}\,\dd r} _{\ds{\root{\pi} \over 2\mu^{3/2}}}\ -\ {k^{2} \over 4\mu^{2}}\ \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}\exp\pars{-\mu r^{2}}\,\dd r} _{\ds{\root{\pi} \over \mu^{1/2}}}}\,\dd k \\[5mm] = &\ {\pi \over a^{3}}{\root{\pi} \over 2\mu^{3/2}}\ \underbrace{\int_{-1}^{1}\exp\pars{-\,{k^{2} \over 4\mu}} \pars{1 - {k^{2} \over 4\mu}}\dd k} _{\ds{\exp\pars{-\,{1 \over 4\mu}} + \root{\pi\mu}\,\mrm{erf}\pars{1 \over 2\root{\mu}}}} \\[5mm] = &\ \bbx{{1 \over 2}\pars{\pi \over b}^{3/2}\exp\pars{-\,{a^{2} \over 4b}} + {\pi^{2} \over 2ab}\,\mrm{erf}\pars{a \over 2\root{b}}} \\ & \end{align}