$(\varepsilon, \delta)$ para la continuidad de una función multivariable

Question

Definir $f : \Bbb R^2 \to \Bbb R^2$, $$f(x,y) = \begin{cases} 0 & (x,y) = 0 \\ \frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2} & (x,y) \ne 0 \end{cases} $$ Determina si $f$ es continuo.

A $\Bbb R^2_{\ne 0}$ tenemos eso $f$es continuo. Para ver si es continuo en el origen, me estaba acercando a él usando epsilon-delta. Tenemos eso$|f(x,y) - f(0,0)| < \varepsilon$ cuando $\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2} = \sqrt{x^2+y^2} < \delta$.

Ahora $$|f(x,y)-f(0,0)| = \frac{|xy||x^2-y^2|}{|x^2+y^2|} \leqslant \frac{|xy||x^2+y^2|}{|x^2+y^2|} =|xy|.$$

Sin embargo estoy perdiendo $x^2+y^2$ aquí ya que eso es lo que necesitaría para $\delta$. ¿Qué me falta en mi enfoque aquí? ¿Hay alguna otra forma en que pueda atar esto?

Answer 1

SUGERENCIA : Recuerda que$|x|,|y|\le\sqrt{x^2+y^2}$.

Answer 2

una forma de hacerlo sería evaluar: $$L=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}$$ ahora si usamos coordenadas polares sabemos que: $$x^2+y^2=r^2,x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$$ s0: $$L=\lim_{r\to0}\frac{r^4\sin\theta\cos\theta(\cos^2\theta-\sin^2\theta)}{r^2}=\lim_{r\to0}r^2\frac{\sin(2\theta)\cos(2\theta)}{2}=\lim_{r\to0}r^2\frac{\sin(4\theta)}{4}=0$$ y desde $\theta$ no afecta este límite, esto es cierto en cualquier dirección desde la que se acerque, lo que significa que la función es continua para todos $x,y\in\mathbb{R}^2$

Answer 3

Para todos $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ tenemos $$ \left\lbrace \begin{align*} &2|xy|\le x^2+y^2\\[4pt] &|x^2-y^2|\le x^2+y^2\\[4pt] \end{align*} \right. $$ de ahí para todos $(x,y)\in\mathbb{R}^2{\setminus}\{(0,0)\}$ tenemos $$ 2|f(x,y)| = \frac {(2|xy|)(|x^2-y^2|)} {x^2+y^2} \le \frac {(x^2+y^2)(x^2+y^2)} {x^2+y^2} = x^2+y^2 $$ que se acerca $0$ como $(x,y)$ enfoques $(0,0)$.