aide sur les nombres complexes

Question

Étant donné les nombres complexes suivants: $$ z=1+i\sqrt{3} \qquad w = 0.707 - 0.707i $$ trouvez les formes cartésiennes des expressions suivantes: $$ z^2 \bar{w}\qquad\text{and}\qquad \frac{z^3}{w^9} $$

Le premier, j'ai trouvé la réponse 1,414 - 1,414i, est-ce correct?

Answer 1

Si vous connaissez les formes polaires de $z$ et $w$, alors le calcul devient beaucoup plus facile comme mentionné dans les commentaires.

Supposer que $z=r_{1}e^{i\theta_{1}}$ et $w=r_{2}e^{i\theta_{2}}$, puis

$z^{2}\bar{w}=(r_{1}e^{i\theta_{1}})^{2}(r_{2}e^{-i\theta_{2}})=r_{1}^{2}r_{2}e^{i(2\theta_{1}-\theta_{2})}$ et $\frac{z^{3}}{w^9}=\frac{r_{1}^{3}}{r_{2}^{9}}e^{3i(\theta_{1}-3\theta_{2})}.$

Ensuite, vous pouvez utiliser la formule d'Euler :$re^{i\theta}=r(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$ pour exprimer votre résultat sous la forme $x+iy.$

Maintenant depuis $r_{1}=|z|=2$ et $\theta_{1}=\arctan(\frac{\sqrt{3}}{1})=\frac{\pi}{3}$ Tu as ça $z=2e^{i\frac{\pi}{3}}.$ De même $w=r_{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$ où $r_{2}=|w|=\sqrt{(0.707)^2+(0.707)^2}\space(\approx 0.9998489885978).$

Answer 2

Allusion:

Observe ceci $\;0.707\cong\cfrac1{\sqrt2}\approx\cfrac{\sqrt2}2\;$ , Donc

$$w\approx\frac{\sqrt2}2(1-i)$$

Ainsi, le premier est

$$z^2\overline w=(-2+2\sqrt3\,i)\frac1{\sqrt2}(1+i)=\sqrt2(-1+\sqrt3~i)(1+i)=\sqrt2(-1-\sqrt3-(1-\sqrt3)i)=$$

$$=-\sqrt2\left[(1+\sqrt3+(1-\sqrt3)~\right]$$

Continuez à partir d'ici ...

Comme commenté, sous forme polaire est beaucoup plus facile. En choisissant l'argument standard dans [0,2 \ pi); $, on obtient:

$$ \; z = 2e ^ {\ pi i / 4} \;, \; \; w = e ^ {3 \ pi i / 4} \ implique \ text {etc.} $$

et etc.