Comment trouver le centile de cette distribution?

Question

Disons que nous avons 2 IID $X, Y \sim N \left( 0, 1 \right) + \eta $

Maintenant $\eta$ a une distribution discrète avec des valeurs 0 (-10) avec des probabilités de 0,991 et 0,009 respectivement.

Supposons également que $Z = X+Y$.

J'ai besoin de trouver la valeur de $z$ tel que $P \left[ Z < z \right] = 1\%$

Existe-t-il une solution de formulaire fermé disponible pour la valeur de $z$?

Answer 1

Une autre façon d'exprimer ces quantités est de laisser $W$ être une variable normale standard et $U$ être un Bernoulli$(0.009)$variable. Tous les deux$X$ et $Y$ avoir la distribution de $W - 10U.$ Donc, $Z=X+Y$a la distribution de (a) la somme de deux variables normales standard iid plus$-10$fois (b) la somme de deux iid Bernoulli$(0.009)$ variables.

Il est élémentaire que (a) ait un Normal$(0,\sqrt{2})$ distribution et (b) a un binôme$(0.009, 2)$Distribution. Ce dernier prend trois valeurs$0,1,2$ avec des chances $(1-p)^2, 2p(1-p),$ et $p^2,$ respectivement (écriture $p=0.009$). Soustraire$10$ fois leur valeur expose $Z$comme un mélange de trois variables normales avec des moyennes$0$, $0-10(1)=-10,$ et $0-20(1)=-20.$ Les poids du mélange sont $(1-p)^2, 2p(1-p),$ et $p^2,$ respectivement.

Voici un graphique de cette distribution de mélange (CDF) $F.$ J'utilise une échelle semi-logarithmique car il existe une gamme assez large de probabilités pertinentes:

Les trois composants Normal centrés sur $0,-10,-20$sont apparentes: ce sont les emplacements très proches des modes (où la pente de cette parcelle est localement la plus forte). La ligne rouge montre la valeur$1\% = 0.01.$ La solution que vous recherchez est la valeur $z$ indiqué par la ligne grise verticale, située là où la ligne rouge coupe le graphique.

Evidemment, cette solution est le zéro de la fonction $z\to F(z)-1/100.$Trouvez-le en utilisant n'importe quel bon chercheur de racine univarié. Avec l'arithmétique à double précision, vous devriez obtenir$z \approx -9.8006135477.$

---

Cette approche s'étend de manière évidente à trouver et à travailler avec des distributions des sommes de tout nombre fini de mélanges finis: elle revient à ajouter n'importe quelle paire de composants de mélange (comme $X$ et $Y$) et en ajoutant les variables de mélange discrètes (dans ce cas, en ajoutant deux copies iid de$U$).