Complexité des partitions de $\mathbb{R}$ en sous-groupes

Question

Dans une réponse à cette question, il a été montré que pour chaque fini$k \geq 1$ il est possible de partitionner $\mathbb{R}$ dans exactement $k$ parties, dont chacune est fermée de manière additive (c'est-à-dire, est un sous-groupe de $(\mathbb{R},+)$). L'argument donné est un argument d'induction reposant sur le fait que$\mathbb{R} \cong \mathbb{R}^2$ en tant que groupes, et donc les partitions obtenues pour $k \geq 4$ sont peu susceptibles d'être très gentils.

Ma question est: pour un $k \geq 4$, est-il possible de partitionner $\mathbb{R}$ dans $k$ Ensembles Borel , dont chacun est fermé sous addition? Si tel est le cas, je serais également intéressé de savoir à quel point les ensembles Borel sont compliqués, et en particulier si cette complexité change avec$k$.

Answer 1

Voici une preuve que vous ne pouvez pas avoir de partition en quatre ensembles Borel avec les propriétés souhaitées.

Premièrement, si un ensemble additivement fermé, $A$, contient un intervalle de nombres positifs puis il contient $(x,\infty)$ pour certains $x$ puisqu'il y a un $n$ où $(na,nb)$ chevauche $a+(na,nb)$. Donc, pour assez grand$n$, Tu comprends $(na,\infty)$ est un sous-ensemble de $A$. Il existe une instruction correspondante pour contenir un intervalle de nombres négatifs pour obtenir un$(-\infty,x)$ sous-ensemble.

Une conséquence est que si $A$ contient à la fois un intervalle négatif et un intervalle postif alors il est $\mathbb{R}$. Si nous avons une partition$A,B,C$ où $A$ a un intervalle positif et $B$ a un intervalle négatif alors le seul autre ensemble $C$ peut être est $\{0\}$ puisque tout autre ensemble additivement fermé croiserait l'un des $(x,\infty)$ ou $(-\infty,x)$. Cela signifie que nous ne pouvons pas partitionner$\mathbb{R}$ dans $4$ des ensembles fermés supplémentaires où l'un des ensembles a un intervalle positif et l'autre un intervalle négatif.

Maintenant, nous devons montrer toutes les paritions Borel, nous nous retrouvons avec un ensemble qui contient $(x,\infty)$ et un ensemble qui contient $(-\infty,y)$. Tout ensemble de Borel est mesurable, donc au moins un de ces ensembles fermés additivement a une mesure positive. C'est un fait que si$A$ a une mesure positive alors $A+A$contient un intervalle . Par le paragraphe précédent, nous obtenons qu'une partition en ensembles de Borel fermés de manière additive a au plus la cardinalité trois.

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Il s'avère que dans ZF, il est constant que chaque ensemble de réels est mesurable . Ainsi, il existe des modèles de ZF où il n'y a pas de partition en quatre sous-ensembles fermés de manière additive.