D'où vient le hamiltonien d'Ising?

Question

Donc, dans mon cours Stat Mech, nous avons été initiés au modèle classique d'Ising: $$H = -J\Sigma _{<ij>}S_iS_j - K\Sigma_i S_i$$Mais d'où cela vient-il? Y a-t-il une justification à cela?
Je veux surtout connaître les origines du premier terme (avec J).
Je suppose que puisque cela a des moments magnétiques dans la formule, est-ce une sorte d'interaction dipôle-dipôle?

Answer 1

Une réponse courte est: le modèle Ising vient d'Ising . Je me rends compte cependant que la question a un sens plus profond en elle. Il y a deux façons de l'examiner:

1. Penser le modèle d'Ising comme un modèle se rapprochant de certains matériaux du monde réel (cela est suggéré par la question). A cela je dois dire qu'il ne modélise pas les interactions dipôle-dipôle, qui conduisent rarement à un (anti-) ferromagnétisme, mais plutôt les interactions d'échange, comme RKKY .
2. Penser le modèle d'Ising comme un hamiltonien modèle qui décrit en fait de nombreux phénomènes critiques dans la même classe d'universalité , qui peuvent n'avoir rien à voir avec (l'anti-) ferromagnétisme, par exemple, les transitions de phase dans les liquides. C'est une caractéristique très spéciale et étonnante des phénomènes critiques, que près d'un point critique, ils peuvent être décrits sans tenir compte de nombreuses particularités de leur structure macroscopique et des interactions microscopiques. Cela va cependant bien au-delà du premier cours de physique statistique.

Enfin, le modèle d'Ising a un rôle historique et théorique important en tant que premier modèle capable de décrire une transition de phase, et en tant que modèle qui peut être résolu exactement en une et deux dimensions (il n'y a pas de transition de phase de température finie dans une dimension, alors que Lars Onsager a reçu un prix Nobel pour la résolution du modèle d'Ising en 2D).

Update
@YvanVelenik a correctement souligné qu'Onsager a reçu le prix Nobel pour les identités d'Onsager, plutôt que pour la résolution du modèle Ising.

Answer 2

Les hamiltoniens microscopiques sont (généralement) postulés sur la base de l'intuition et des exigences générales. Par exemple, The$J$ term peut être considéré comme le moyen le plus simple d'inclure des interactions qui ont une symétrie sous la rotation de tous les spins.

Il est possible d'ajouter d'autres contributions qui pourraient être plus représentatives d'un système physique particulier. Cependant, le terme J est «l'ingrédient» minimum nécessaire pour explorer la phénoménologie libérale des systèmes en interaction avec des points critiques (longueurs de corrélation divergentes, rupture de symétrie, universalité, ...).