Définitions équivalentes du socle d'un module

Question

Wikipedia donne les définitions suivantes du socle d'un$R$-module $M$: $$\text{Soc}(M)=\left\{\sum S:S\subseteq M\text{ is simple}\right\}:=S_1$$ et $$\text{Soc}(M)=\left\{\bigcap E:E\subseteq M\text{ is essential}\right\}:=S_2$$

J'essaye de montrer que ce sont des équivalents.

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Je peux montrer que $S_1\subseteq S_2$:

Supposer que $S\subseteq M$est simple. Si$x\in S$ est non nul alors $Rx=S$. Pour tout essentiel$E\subseteq M$ nous avons $Rx\cap E\neq0$, et donc $Rx\cap E=Rx$par simplicité. ensuite$Rx\subseteq E$, donc $x\in E$.

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Cependant, j'ai du mal à montrer l'inverse. Voici ce que j'ai essayé jusqu'à présent:

Supposer que $e\in E$ pour chaque essentiel $E\subseteq M$. J'ai besoin de montrer ça$e$ peut être écrit comme une somme d'éléments dans de simples sous-modules, j'ai donc pensé essayer de montrer que $Re$ est simple.

Sinon, nous en avons $0\subsetneq N\subsetneq Re$, donc il en existe $r\in R$ tel que $re\notin N$. Si$e\in E$ pour chaque essentiel $E\subseteq M$, puis $re$ fait aussi.

Alors il suffirait de montrer que $N\subseteq M$est essentiel pour une contradiction. Puisque$$N\subsetneq Re\subseteq E\subseteq M$$ il suffirait alors de montrer que $N\subsetneq Re$ et $Re\subseteq E$sont des extensions essentielles. Malheureusement, je n'arrive pas à le prouver non plus, et je commence donc à douter que ce soit la bonne approche.

Toute aide serait très appréciée.

Answer 1

Cette preuve suit la proposition 8.8 dans ces notes .

Laisser $N$ être un sous-module de $S_2$. Par le lemme de Zorn, nous pouvons trouver un module$N'\subseteq M$ qui est maximale par rapport à la propriété qui $N\cap N'=0$.

ensuite $N\oplus N'\subseteq M$ est essentiel, car si $L\cap(N\oplus N')=0$ puis $N'\oplus L$ contredirait la maximalité de $N'$.

Cela prouve que $N\subseteq S_2\subseteq N\oplus N'$, puisque $S_2$ est l'intersection de tous les sous-modules essentiels de $M$.

ensuite $$S_2=S_2\cap(N\oplus N')=N\oplus(S_2\cap N')$$ donc tout sous-module de $S_2$ est une sommation directe.

Par la preuve liée à ici , cela montre que$S_2$ est semi-simple, de même que la somme directe de ses sous-modules simples.

ensuite $S_2\subseteq S_1$ et nous avons terminé.