Demande de référence: la théorie des courants
Je suis étudiant diplômé et souhaite étudier la théorie des courants . Qu'est-ce qu'une bonne référence pour un débutant? Je devrais être familier avec la théorie des distributions ou des fonctions généralisées sur$\mathbb R^n$.
Réponses
La théorie des courants fait partie de la théorie des mesures géométriques. Malheureusement, Federer a rendu le sujet complètement inaccessible après avoir écrit sa célèbre monographie:
H. Federer , Théorie des mesures géométriques. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 153 Springer-Verlag New York Inc., New York 1969.
Le problème est que le livre contient «tout» (enfin presque) et qu'il est illisible. Après la publication de ce livre, les gens n'ont pas osé écrire d'autres livres sur le sujet et seuls les cœurs les plus courageux ont osé lire la Bible de Federer.
A mon avis, le premier livre accessible sur le sujet est
L. Simon , Conférences sur la théorie des mesures géométriques. Actes du Center for Mathematical Analysis, Australian National University, 3. Australian National University, Center for Mathematical Analysis, Canberra, 1983.
Vous pouvez le trouver sous forme de fichier pdf sur Internet. Notez que ce livre a été écrit 14 ans après le livre de Federer et qu'il n'y avait rien entre les deux.
Je suggérerais également:
F. Lin, X. Yang, Théorie des mesures géométriques - une introduction. Mathématiques avancées (Beijing / Boston), 1. Science Press Beijing, Beijing; Presse internationale, Boston, MA, 2002.
Je ne l'ai pas lu, mais il semble relativement élémentaire (relativement, car en aucun cas le sujet n'est élémentaire).
Le dernier mais non le moindre est
F. Morgan, Théorie des mesures géométriques. Un guide du débutant. Cinquième édition. Illustré par James F. Bredt. Elsevier / Academic Press, Amsterdam, 2016.
Vous n'apprendrez rien de ce livre car il n'a pas de preuves détaillées, mais vous pouvez le lire assez rapidement et après cela, vous aurez une idée de ce dont il s'agit.
Une introduction conviviale pour les débutants se trouve dans le chapitre 7 du livre "Théorie de l'intégration géométrique" de Krantz et Parks. Il date de 2008 et écrit dans un style moderne et clair et il part presque de «zéro».