équation d'onde PDE

Question

Résoudre le problème de la valeur limite initiale

\ begin {eqnarray} u_ {tt} & = & u_ {xx} + u_t ~~ \ mbox {in} ~~ (0, \ ell) \ times (0, \ infty), \\ u (0, t) & = & u (\ ell, t) ~~ \ mbox {on} ~~ (0, \ infty), \\ u (x, 0) & = & \ sin x, ~ u_t (x, 0) = \ cos x ~~ \ mbox {on} ~~ (0, \ ell). \ end {eqnarray}

Mon essai:

J'ai directement appliqué la séparation des variables, je n'ai pas pu obtenir la transformation afin qu'elle puisse être convertie en $$w_{tt} = w_{xx}$$et j'ai résolu le temps ODE du deuxième degré en utilisant l'équation caractéristique. J'ai utilisé des conditions aux limites, mais lorsque j'essaie de mettre en œuvre intital, je ne sais pas comment mettre en œuvre la dernière condition.

Mon formulaire jusqu'à présent après l'application des BC: $$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\sin(n\pi x/l)[c_1 e^{\frac t2(1+\sqrt{1-4(\frac{n\pi}{l})^2})} + c_2 e^{\frac t2(1-\sqrt{1-4(\frac{n\pi}{l})^2})}]$$

Answer 1

Jusqu'à présent, vous avez

$$ u(x, t) = \sum_n \sin\left(\frac{n\pi x}{l}\right)\left[ A_n e^{\lambda_+ t} + B_n e^{\lambda_- t} \right] \tag{1} $$

où

$$ \lambda_\pm = \frac{1}{2}\left[1 \pm \sqrt{1 - \left(\frac{2n\pi}{l}\right)^2}\right] $$

Considérons maintenant les conditions initiales

$u(x, 0)$

En remplaçant cela dans (1), vous obtenez

$$ \sin x = \sum_n \sin\left(\frac{n\pi x}{l}\right) [A_n + B_n] $$

et d'ici

\ begin {eqnarray} \ int_0 ^ l {\ rm d} x ~ \ sin \ left (\ frac {m \ pi x} {l} \ right) \ sin x & = & \ sum_n [A_n + B_n] \ int_0 ^ l {\ rm d} x ~ \ sin \ left (\ frac {n \ pi x} {l} \ right) \ sin \ left (\ frac {m \ pi x} {l} \ right) \\ & = & \ sum_ {n} [A_n + B_n] \ left (\ frac {l} {2} \ delta_ {mn} \ right) \\ & = & \ frac {l} {2} (A_m + B_m) \ \ & = & \ frac {lm \ pi} {l ^ 2 - m ^ 2 \ pi ^ 2} \ cos (m \ pi) \ sin l \\ & = & (-1) ^ m \ frac {lm \ pi} {l ^ 2 - m ^ 2 \ pi ^ 2} \ sin l \ end {eqnarray}

Donc en résumé

$$ A_m + B_m = (-1)^m\frac{2 m \pi}{l^2 - m^2\pi^2} \sin l \tag{2} $$

$u_t(x, 0)$

Je vais vous laisser celui-ci, vous devriez obtenir quelque chose comme

$$ \lambda_+ A_m + \lambda_- B_m = \cdots \tag{3} $$

Les équations (2) et (3) peuvent être résolues pour trouver $A_n$ et $B_n$