Espace de colonne et complément orthogonal

Question

J'ai une question et je ne sais pas vraiment comment la résoudre. Je l'ai essayé et probablement ma solution est$\textit{wrong}$Pour dire le moins. Nous y voilà!

Supposons que nous ayons$A_{m \times n}.$Prouver ou réfuter l'énoncé : Chaque vecteur dans$\mathbf{R^n}$est soit$C(A)$ou alors$C(A)^\perp$ou les deux. Où$C(A)$est l'étendue de l'espace des colonnes de$A$et$C(A)^\perp$est le complément orthogonal de$A$.

Mon point de vue : Chaque matrice dit$A$, a le rang de propriété$(A) \leq n$.

Donc si rang$(A)<n$, alors au moins une colonne (vecteur) de$A$est linéairement dépendant et de rang$(A) <$rang$(\mathbf{R^n})$ce qui implique que$A$ne s'étend pas$\mathbf{R^n}$pour que nous ayons$$\text{rank } \mathbf{(R^n)} = \text{ rank} (A) + \text{ rank } (A^\perp) $$De même, si le rang$(A)=n$, alors toutes les colonnes (vecteurs) de$A$sont linéairement indépendants et de rang$(A) =$rang$(\mathbf{R^n})$ce qui implique que$A$s'étend$\mathbf{R^n}$pour que nous ayons$$\text{rank } \mathbf{(R^n)} = \text{ rank} (A) $$

Answer 1

C'est faux. Prendre en compte$2\times 1$matrice$\left(\begin{smallmatrix} 1 \\ 0\end{smallmatrix}\right)$, alors l'espace des colonnes est$U=\operatorname{span}\left( \left(\begin{smallmatrix} 1 \\ 0\end{smallmatrix}\right)\right)$et son complément orthogonal est$U^\perp=\operatorname{span}\left( \left(\begin{smallmatrix} 0 \\ 1\end{smallmatrix}\right)\right)$.

Le vecteur$\left(\begin{smallmatrix} 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right)$n'est pas un élément de$U$et ni l'un ni l'autre$U^\perp$.

Les autres réponses semblent confondre unions et sommes directes.

Answer 2

Tout sous-espace et son complément orthogonal partitionnent l'espace donné$R^n$. Donc tout vecteur dans$R^n$soit appartient à un sous-espace U dans$R^n$ou appartient à$U^{\perp}$(le vecteur zéro appartient aux deux). Il me semble que nous n'avons pas besoin d'analyser la propriété de$C(A)$.

Puis je regarde de plus près,$C(A)$voici un sous-espace dans$R^m$, donc s'il n'y a pas de faute de frappe, je dirais que la déclaration est incorrecte.