espace parfaitement normal

Question

Si $X$ est un espace topologique de Hausdorff, on dit que $X$ est parfaitement normal si, pour chaque ensemble fermé $A$, il existe une fonction continue $f_A:X\rightarrow[0,1]$ tel que $f_A^{-1}(0)=A$.

Prouvez que les espaces parfaitement normaux sont normaux.

Mon effort: Supposons $A$ et $B$sont deux ensembles fermés disjoints. Définir$g=\frac{f_A}{f_A+f_B}$. $g(x)=0$ si et seulement si $x\in A$, et $g(x)=1$ si et seulement si $x\in B$.

Tant que je peux prouver $g:X\rightarrow [0,1]$est continue, j'ai fini. Mais je ne sais pas comment montrer que c'est continu.

Answer 1

Une autre façon peut être de voir votre carte $g$ comme la composition suivante

$g=G\circ (f_A,f_B)$ où

$(f_A,f_B): X\to [0,1]\times [0,1]$

et

$G: E\subseteq [0,1]\times [0,1]\to [0,1]$

où $E=\{(x,y): x\neq 0 \textit{ or } y\neq 0\}$

Et la carte est $G(x,y):= \frac{x}{x+y}$

c'est continuos sur son domaine. Cette carte est continue pour le même raisonnement de Kavi Rama Murthy.

Answer 2

$f_A(x)+f_B(x) \geq 0$ et $f_A(x)+f_B(x) = 0$ si et seulement si $f_A(x)=f_B(x)=0$ si et seulement si $x \in A$ et $x\in B$ce qui est impossible. Par conséquent$g$est le rapport de deux fonctions continues dans lesquelles le dénominateur ne s'évanouit jamais. Ceci implique que$g$ est continue.