Espaces non séquentiels dans la nature

Question

TLDR: Quels sont des exemples d'espaces (de fonctions) qui ne sont pas séquentiels? Quand est-ce important?

En tant que simple analyste, je suis très heureux si je peux simplement travailler avec des séquences tout le temps. Dans la plupart des situations, c'est tout à fait correct, car de nombreux espaces que l'on rencontre dans sa vie quotidienne sont en fait séquentiels (ou même 1er dénombrable, voire mieux métrisable). Récemment, j'ai été un peu choqué de découvrir que l'espace apparemment familier des fonctions de test$\mathscr{D}(\mathbb{R}^d)$(avec sa topologie LF habituelle) échoue en fait à être séquentielle . Mais n'avais-je pas appris qu'on peut vérifier si une fonctionnelle linéaire sur$\mathscr{D}(\mathbb{R}^d)$est une distribution en vérifiant la continuité avec les séquences? Eh bien dans ce cas c'est vrai (proposition 21.1 du livre Trèves TVS), mais uniquement parce que nous avons regardé des fonctionnelles linéaires .

Cela m'a fait penser qu'il pourrait en fait y avoir un tas d'espaces autour, pas des contre-exemples pathologiques, mais de vrais espaces que l'on rencontre dans la nature, qui ne sont pas séquentiels. Dans certains cas, comme ci-dessus, cela peut ne pas être problématique, mais potentiellement pour des raisons non triviales. Afin de devenir plus conscient de ces subtilités, je voudrais collecter quelques exemples supplémentaires.

Une réponse devrait idéalement contenir les éléments suivants:

• Un exemple concret ou une classe d'exemples d'espaces non séquentiels, largement utilisés ou apparaissant naturellement dans l'analyse. Mon principal intérêt réside dans les espaces vectoriels topologiques qui apparaissent comme des espaces fonctionnels dans un certain contexte. L'exemple ne doit pas être un «contre-exemple pathologique» (c'est bien sûr un peu vague).
• Une instance où il importe que l'espace soit non séquentiel. Ou un avertissement, quand il faut être plus prudent et utiliser des filtres ou des filets.
• Des trous de boucle ou des situations particulières où il suffit néanmoins de se concentrer sur des séquences.

Je vais commencer:

• Fonctions de test: $\mathscr{D}(\mathbb{R}^d)$(avec la topologie LF standard) n'est pas séquentielle. En particulier une fonction$f:\mathscr{D}(\mathbb{R}^d)\rightarrow \mathbb{C}$peut être séquentiellement continue, mais pas continue ( exemple par PhoemueX). Toutefois, si$f$est linéaire alors la continuité séquentielle implique la continuité (Corollaire d'après la proposition 13.1 du livre TVS de Trèves). La même chose est vraie pour les autres espaces LF.
• Distributions: $\mathscr{D}'(\mathbb{R}^d)$(avec la topologie forte) n'est pas séquentielle. Une séquence de distributions converge fortement si et seulement si elle converge faiblement, mais ce n'est pas vrai lorsque les séquences sont remplacées par des filets / filtres. Le même résultat (pour les séquences) est vrai dans les duels forts d'espaces de Montel (Corollaire 1 de la proposition 34.6 à Trèves)
• Un espace de Banach de dimension infinie, équipé de la topologie faible n'est pas séquentiel. Cependant, malgré cela, nous avons cette compacité = compacité séquentielle ( théorème d'Eberlein-Smulian ).

Enfin, voici quelques espaces séquentiels :$\mathscr{S}(\mathbb{R}^d)$ (Schwartz-espace), $\mathscr{D}(M)$(distributions sur manifold compact$M$), le dual d'un espace localement convexe séparable avec le faible$^*$-topologie, ...

Answer 1

La boule unitaire d'un espace normé séparable est faible$^*$ séquentiellement compact, mais cela échoue dramatiquement pour les espaces non séparables: la séquence des évaluations $\delta_n: \ell_\infty\to\mathbb R$ est probablement la première séquence de $\ell^*_\infty$ cela me vient à l'esprit et il n'a pas de faiblesse$^*$-sous-séquence convergente: ce serait une séquence d'entiers $n_1<n_2<\cdots$ tel que pour chaque séquence bornée $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ des scalaires on avait une limite $\lim\limits_{k\to\infty} x_{n_k}$.

Answer 2

La séquentialité ne correspond pas bien à une structure algébrique. Par exemple, le résultat suivant de Banakh et Zdomskyy caractérise des groupes topologiques séquentiels avec dénombrable$cs^*$-personnage:

Théorème. Un groupe topologique$G$ avec dénombrable $cs^*$-character est séquentiel si et seulement si $G$ est soit metrizable, soit contient un open $\mathcal M\mathcal K_\omega$-sous-groupe.

Rappelons qu'un espace topologique $X$a dénombrable$cs^*$-character if pour chaque point$x\in X$ il existe une famille dénombrable $\mathcal F_x$ de sous-ensembles de $X$ tel que pour chaque quartier $O_x\subseteq X$ de $x$ et chaque séquence $\{x_n\}_{n\in\omega}\subseteq X$ qui converge vers $x$, il existe un ensemble $F\in\mathcal F_x$ tel que $F\subseteq O_x$ et $F$ contient une infinité de points de la séquence $(x_n)$.

Un espace topologique $X$ est $\mathcal{MK}_\omega$ s'il existe une couverture dénombrable $\mathcal C$ de $X$ par des sous-espaces métrizables compacts tels qu'un sous-ensemble $F\subseteq X$ est fermé si et seulement si pour chaque ensemble compact $C\in\mathcal C$ le carrefour $C\cap F$ est fermé dans $C$.

Dans cet article de Banakh et Repovs, le résultat ci-dessus de Banakh - Zdomskyy a été étendu aux espaces rectifiables et aux boucles topologiques gauches.

En fait, le théorème ci-dessus est un corollaire du résultat suivant de Banakh :

Théorème. Si un groupe topologique parfaitement normal$G$ contient une copie topologique du ventilateur Frechet-Urysohn $S_\omega$ et une copie topologique fermée du ventilateur métrique $M$, puis $G$ n'est pas séquentielle.

Le ventilateur métrique est le sous-espace$$M=\{0\}\cup\{\tfrac1{n}+\tfrac{i}{nm}:n,m\in\mathbb N\}$$du plan complexe. L' éventail Fr'echet-Urysohn est l'ensemble$M$ doté de la topologie la plus forte qui coïncide avec la topologie euclidienne sur chaque sous-espace $K_m=\{0\}\cup\{\frac1{n}+\tfrac{i}{nm}:n\in\mathbb N\}$, $m\in\mathbb N$. Il est facile de voir que le ventilateur Fr'echet-Urysohn est un$\mathcal{MK}_\omega$-espace.