Être simplement connecté est-il très rare?
Essentiellement, ma question est de savoir dans quelle mesure il est important d'être simplement connecté.
Voici une façon de rendre cela précis: Disons que nous voulons compter les complexes simpliciaux (de dimension 2, bien que cela n'ait pas beaucoup d'importance, toute dimension fixe convient) sur N simplices soumises aux restrictions suivantes:
R: chaque sommet est contenu uniquement dans un nombre borné de simples (disons, 10000).
B: le complexe est simplement connecté.
Alors correctement: combien y a-t-il de complexes distincts comme celui-ci? En fait, je ne veux qu'une réponse approximative: est-ce exponentiel en N, ou est-ce superexponentiel. Notez que si je supprime l'une ou l'autre restriction, la réponse est superexponentielle.
Réponses
Voici une estimation approximative indiquant qu'en effet, dans ce modèle à «valence bornée», un complexe simplicial a un groupe fondamental non nul avec une probabilité élevée. Nous allons en fait conclure quelque chose de plus fort: le nombre de 2-simplices est limité avec une probabilité élevée. Je pense que cela indique une carence du modèle de «valence bornée» - intuitivement, je m'attendrais à une «bonne» mesure sur les complexes simpliciaux avec$N$ sommets pour me dire que le nombre attendu de 2-simples croît avec $N$.
Laisser $N$ être le nombre de sommets, et soit $d$être la borne du nombre de simplices contenant un sommet donné. Pensons à un complexe 2$X$ dans ce modèle comme suit:
Le 1-squelette $X_1$ de $X$ est un graphe dont la valence est limitée par $d$, et a donc $\leq Nd/2$bords. Son groupe fondamental est un groupe libre sur$\leq N(d/2-1)-1$générateurs. Supposons que$X_1$ est connecté ou du moins est dominé par une composante géante, et que nous nous intéressons au groupe fondamental de la composante géante.
Maintenant, chaque 2-simplex que nous ajoutons ne peut que réduire le groupe fondamental, donc nous pourrions aussi bien ajouter toutes les 2-simplices possibles et voir que le résultat n'est toujours pas simplement connecté. La probabilité qu'une paire de sommets donnée soit connectée par une arête est$\sim (Nd/2) / {N \choose 2} \sim d/N$. Donc, étant donné un sommet et deux arêtes qui lui sont connectées, la probabilité que ceux-ci s'insèrent dans un triangle est$\sim d/N$. Ainsi, chaque sommet est contenu dans$\sim {d \choose 2}(d/N) \sim d^3/(2N)$ triangles, et il y a donc un total de $\sim \frac 1 3 N(d^3/(2N)) = d^3/6$ Triangles.
Autrement dit, le groupe fondamental de $X_1$, qui est gratuit sur plusieurs générateurs $\sim N(d/2-1)$ grandir avec $N$, est quotienté par un nombre borné de relations$\sim d^3/6$avec une forte probabilité. En regardant les abélianisations, nous pouvons voir que cela implique que$H_1(X) \neq 0$ et en particulier que $\pi_1(X) \neq 0$.
Bien sûr, si vous prenez $d \sim 10000$, alors la limite sur le nombre de relations est d'environ un billion, vous devez donc regarder de très gros complexes avant de voir ce comportement émerger :).
Je pense que la principale "étape non rigoureuse" de cet argument consiste à supposer que la probabilité pour deux sommets $v,w$être connecté par une arête ne monte pas quand on conditionne sur l'événement que$v,w$ sont chacun connectés à un troisième sommet $u$. Cela me semble très plausible (si quelque chose la probabilité devrait baisser un peu parce que l'un des possibles$d$-de nombreux sommets pour $v$ auquel se connecter est repris par $u$ et de même pour $w$), mais je ne sais pas comment le justifier.
Ce qui suit ne répond pas à votre question, mais en ajoutant juste au cas où cela serait utile.
Si vous affaiblissez "simplement connecté" à $H_1(\Delta, \mathbb{Q}) = 0$, et affaiblir "chaque sommet est dans un nombre borné d'arêtes" à "le nombre moyen de triangles contenant une arête est borné", alors il existe de manière super-exponentielle de nombreux complexes de ce type. C'est un vieux résultat de Kalai, sur l'énumération$\mathbb{Q}$-complexes cycliques. https://link.springer.com/article/10.1007/BF02804017 Il y a $\exp( cn^2)$ ces complexes, où $c>0$ est une constante qui ne dépend pas de $n$. Pour les dernières nouvelles sur l'énumération$\mathbb{Q}$-complexes, voir Linial et Peled: https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1002/rsa.20841
Andrew Newman et moi avons récemment montré qu'un $\mathbb{Q}$-un complexe cyclique (selon une «mesure déterminante» naturelle) n'est pas simplement connecté. Avec une probabilité élevée, le groupe fondamental est un groupe hyperbolique de dimension cohomologique 2.https://arxiv.org/abs/2004.13572