Inégalité d'interpolation (intégration de Sobolev)

Question

Laisser $\Omega$ être un $C^1$ domaine, pour tout $\epsilon>0, 0<|\alpha|<k$, il existe un $C_\epsilon$ tel que $$||D^\alpha u||_{L^p}\leq \epsilon||u||_{W^{k,p}}+C_\epsilon||u||_{L^p}$$ pour tous $u\in W^{k,p}$.

J'essayais de le prouver par contradiction.

$\forall n \in \mathbb{N}, \exists u_n \in W^{k,p}$ tel que $||D^\alpha u_n||_{L^p}>\epsilon||u_n||_{W^{k,p}}+n||u_n||_{L^p}$.

Quelqu'un pourrait-il me donner un indice sur l'utilisation de l'incorporation de compacité Sobolev?

J'essayais d'utiliser le $W^{k,p}\subset \subset L^p$. Cependant, je ne sais pas comment montrer que la séquence est bornée$sup$.

En prenant la normalisation, $v_n=\frac{u_n}{||u_n||_{W^{k,p}}}$, nous aurions $$\frac{1}{||u_n||_{W^{k,p}}}||D^\alpha u_n||_{L^p}>\epsilon+\frac{n}{||u_n||_{W^{k,p}}}||u_n||_{L^p}$$

Answer 1

Il s'avère que l'intégration $W^{k,p} \subset \subset L^p$être compact ne suffit pas. Nous avons besoin de quelque chose de légèrement plus fort: pour$0<|\alpha| < k$ l'incorporation $W^{k,p} \subset \subset W^{|\alpha|,p}$ est également compact.

Une fois que vous avez (après normalisation) $\|u_n\|_{W^{k,p}} = 1$ pour tous $n$, la séquence $u_n$ est borné dans $W^{k,p}$ (car $\sup_n \|u_n\|_{W^{k,p}} =1$ comme nous avons normalisé chacun d'eux), donc par inclusion compacte il y a une sous-séquence convergente $u_{n_j} \xrightarrow{W^{|\alpha|,p}} u$.

Maintenant, écrivez la déclaration contradictoire: $$ \|D^{\alpha} u_{n_j}\|_{L^p} > \epsilon\|u_{n_j}\|_{W^{k,p}} + n \|u_{n_j}\|_{L^p} = \epsilon + n \|u_{n_j}\|_{L^p} \tag{*} $$

Notez que depuis $1 = \|u_{n_j}\|_{W^{k,p}} \geq \|D^{\alpha}u_{n_j}\|_{L^p}$, la LHS est délimitée par $1$. De là, le côté droit doit être délimité par$1$. Mais pour que cela se produise, nous devons avoir$\|u\|_{L^p} = 0$, car sinon, le RHS ressemblera à $\epsilon + n \|u\|_{L^p}$ pour les grands $n$, qui n'est limité que si $\|u\|_{L^p} = 0$. Par conséquent$u=0$.

Mais nous avons aussi $D^{\alpha} u_{n_j} \xrightarrow{L^p} D^{\alpha} u = 0$. Cependant, si nous prenons des limites$*$ on a $\|D^{\alpha}u\|_{L^p} > \epsilon$. Ceci complète la contradiction.